《约数和倍数的意义》教学片断及反思

【背景与导读】

《约数和倍数》是人教版义务教材五年级下册的教学内容。本节课属于概念教学，可操作性不强，对学生来说比较抽象，理解较困难。可以说，目前，想把概念教学讲透、讲活是众多数学教师所面临的一个难题。理解约数和倍数的涵义是建立在“整除”的基础之上。在之前学生对整除只是有个初步的认识，但还不能以严密的定义形式再现，所以我先让学生通过给几道除法算式求商，然后根据算式特点将算式分类，通过观察、比较建立“整除”的意义。在此基础上提出两个数的另一种关系：约数和倍数的关系。通过自主学习、合作探究的形式，掌握约数和倍数的意义，并抓住了对关健词“相互依存”的理解，又通过学生互辨互评的过程，以及趣味的变式练习，深化了对约数和倍数的理解。在整个新知识的教学中，学生始终保持着饱满的热情，积极地去探索、去体验，主动地建构知识。

【案例与反思】

活动探究，建立整除概念。

[片断一]

1.将下面几道算式卡片分发到各小组

15÷36÷1.23÷224÷8

30÷153.3÷1.120÷6

师：先计算，再根据你们在计算时的体验将这些算式分类，并说出分类的依据。

（小组计算、商讨，汇报交流）

生1：我们组认为可以分为两类，一类是除不尽的，另一类是除尽的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）7÷3=2……1

6÷1.2=520÷6=3……2

3÷2=1.5

24÷8=3

30÷15=2

3.3÷1.1=3

生2：我们组认为可以分为这样的两类：一类是被除数和除数都是整数的，另一类是被除数和除数有小数的。（同时展示）

（1）15÷3=5（2）6÷1.2=5

3÷2=1.53.3÷1.1=3

30÷15=2

7÷3=2……1

20÷6=3……2

生3：我觉得生1组的分类合理些，生2组的分类没什么意义。

生4：我们也同意生1组的分法，但我们认为还可以将第（1）类再分成两类，这样可以分成三类：一类是一般除尽的；一类是不仅能除尽并且整除的；一类是除不尽的。（同时展示）

（1）3÷2=1.5（2）15÷3=5（3）7÷3=2……1

6÷1.2=524÷8=320÷6=3……2

3.3÷1.1=330÷15=2

师：依据不同的标准，就有不同的分法。生3将能除尽的算式又分成了两类，将整除算

式单独列出来。你能用一句话或一幅图表示整除和除尽的关系吗？

（小组内商量）抽生汇报：能整除一定能除尽，能除尽不一定能整除，除尽的范围要比整除的范围大一些。

生：我们还可以用一个集合图来表示整除和除尽的关系：

师：请你们再举出几道整除算式来。同桌交流。

师：如果用数a表示被除数，数b表示除数，数c表示商，那么它们的整除条件是怎样的？（小组内商量、汇报，师板书）

a÷b=c（1）a、b、c都是整数，并且没有余数。

（2）b不等于0。

师：一道除法算式如果具备了整除条件，我们就说数a能被数b整除，B能整除a。

生自读教材整除定义。

师：那么15÷3=5这个整除算式，谁能被谁整除，谁能整除谁？（抽几名学生说一说）

小组内学生互说互评。

师：能否说3能被2整除？为什么？

……

[反思]

理解“整除”是认识“约数和倍数”的前提，概念的学习，对学生来说比较抽象。教师必须激发学生的学习兴趣，只有在学生主动的状态下的学习才是最有效的，课堂上一方面要体现以学生为主体，另一方面要培养学生自我探究的意识，让学生主动参与学习过程，才能激发他们的探究欲望，培养学生自主学习的能力。学生在以前虽然学习过整除，但已冷却了很长时间，何况当时也没有明确地下定义，而理解“整除”对于本节课很关键。于是我没有按教材安排的那样一开始就让学生回忆什么叫“整除”，而是依据学生对整除算式的表象印象将几道除法算式求商后进行分类，进而从中筛选出整除算式，通过筛选对“整除”的表象深化，从而理解“整除的意义”。另外，我也不是将计算好的算式直接让学生分类，而是先计算，再让学生根据自己的实践体验，分类时也更有依据性。还把算式制成活动卡片的形式，创设了操作契机，学生分类也较灵便，学得也很积极主动。

[片断二]

交流探索，理解“约数和倍数”

师：当数a能被数b整除时，它们也具备了另一种关系，那就是我们今天要学习的约数和倍数的关系。（板书课题）

这种关系是什么样的呢？自读教材“约数和倍数”的意义。

自学提示：

（1）在什么情况下两个数才具有约数和倍数的关系？

（2）这种关系是怎样的？

（3）“相互依存”是什么意思？（可查字典）

生1：必须在整除的前提重要条件下，两个数才具备约数和倍数的关系。（其他同学举手同意）

生2：当数a能被数b整除时，a就是b的倍数，b就是a的约数或因数。如15÷3=5，15是3的倍数，3是15的约数。

生3：生2的回答很好，他还举了例子，让大家听得非常明白。

师：（以7÷3=2……1为例）能说7是3的倍数，3是7的约数吗？

生哗然：不能！

为什么？

生4：约数和倍数必须建立在整除的前提条件下，7不能被3整除，所以不能说7是3的倍数，3是7的约数。

师作明白状，然后擦掉不是整除的算式。

同桌相互说出一组数的约数和倍数的关系。

师：书中有这样一句话，约数和倍数是相互依存的，怎样理解？

生5：我们查过字典，也相互讲座过，“相互依存”是相互依靠、相互依赖的意思，简单地说，就是“相依为命，谁也离不开谁”。

师：我也以15÷3=5为例，因为15能被3整除，所以15是倍数，3是约数。请你们判断我说的对吗？

生：“对”“不对”

师：为什么不对？

生15是3的倍数，但在30÷15=2中，15又是30的约数，所以不能单说15是倍数，它也可能成为另一个数的约数。必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

师强调：这就是约数和倍数的相互依存交通系统，必须说清谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

……

[反思]

在引入约数和倍数时，注意了新旧知识的联系，让学生感受到新知识的生长点。认识约数和倍数的意义时，让学生在看书自学的基础上谈收获和体会，体现了让学生在学习中的自主建构，而自学提示又给学生点亮了指明灯，让学生学有目标。对于第一次认识的两个数的约数和倍数关系，通过让学生相互说、评的过程，加强了学生对“约数和倍数”的认识，又通过查字典、互辨互说中理解“相互依存”的含义，从而深化对“约数和倍数”的理解。而在数学课堂上查字典，学生感觉很新鲜，也体会到学科之间是相互联系的.，学生学得更主动了。

[片断三]

趣味练习，深化主题。

课堂练习

……

课后练习第四题：下面哪些数是60的约数，哪些数是6的倍数

481256018

我是这样设计的：将这几个数制成数字卡片，抽两名学生上黑板选出之后贴入下面的集合里

生1选出12、5贴到第一个集合里。

生2也选出48、18，然后又将12从第一个集合里拿到第二个集合里。（生1还没看见）

生1刚拿到60，生2也去拿60，这样两人相持不下，“我的”“我的”

生1：哎，12本来是我的，你怎么拿走了？（生1这才发现12已被生2拿走，而现在又在争夺这个60）

其他同学都笑了。

师：同学们，你们看，这两个数该给谁呢？

生：他们俩都对！（学生们都愣住了，噢，这两个数他们都需要。）

师：谁能说说这说明了一个什么道理？

生1：说明了一个数可能是某个数的约数，也可能是另一个数的倍数。

生2：这正说明了约数和倍数得相互依存的。

生3：正因为这样，所以不能单说谁是约数，谁是倍数。一定要说清谁是谁的约数，谁是谁的倍数；谁的约数是谁，谁的倍数是谁。

……

[反思]

巧妙地将这个练习题设计成了趣味游戏，将静态教材动态化，符合学生的年龄特点。在两个学生争夺这两个数时将课堂气氛推向了高潮。不仅增强了数学学习的趣味性，而且使学生加深了对约数和倍数的认识，并对深化本节课的主题也起到了推波助澜的作用。让学生真正成为学习的主人，调动了学生学习数学的兴趣。

[点评与拓展]

这节课是概念教学，教师没有落入“枯燥乏味”的老套，而是根据学生的年龄特点和教材特点，灵活地驾驭教材，取得了非常好的教学效果。本节课在教学设计上体现了新的课程理念，注重了学生的主动参与、自主建构，让学生在活动中理解约数和倍数的意义。教师在角色上只是作好引导，帮助学生质疑解难，当学生的学习有困难时，教师采用了分组讨论，采取合作交流的学习方式排除疑难，让学生真正成为学习的主人，亲自品尝到了成功的喜悦。

一是将静态教材动态化。新课程强调教师不仅是教材的使用者，同时也是教材的开发者，本节教学中，教师在理解、研究教材的基础上，在胆地对教材进行二度开发，实现了教材由静态向动态的转变。教师没有如教材所提供的教学思路，先复习什么是整除，然后找出整除算式，而是先将静态的算式制成动态的卡片，为学生将算式进行分类提供了动态情境，成功地实现了“整除”在学生心中的辨别与概括的建构过程，也为下面学习约数和倍数做好了准备。在课堂练习时，教师又将静态的选择题设计成活动卡片的形式，不仅调动了学生的学习数学的兴趣，而且深化了对约数和倍数的理解，实现了在数学课中的“活中乐、活中学、活中悟、活中索”的数学学习新体验。

二是教学内容探究化。“教学不是告诉，”教师没有直接把整除的意义告知学生，而是让学生在算一算、比一比、摆一摆、议一议、说一说的过程中，探究除法算式的特点，感知整除与除尽、小数除法的不同；在学习约数和倍数的意义时，则通过自主学习与合作探究的形式，当有了疑难，则通过让学生互辨互评的方式，顺利地突破了重难点，体现了“学生是教学的主体”这一新课程的核心理念。

三是概念教学活动化。以往教师在概念教学中大多采用讲解法，教学沉闷，教师讲得吃力，学生听得费劲。而在本节课中，教师让学生在拼摆算式、合作交流、变式练习等形式使课堂气氛活跃生动，学生学得轻松愉快，提高了学生学习数学的兴趣。同时也培养了学生在活动中合作学习、团结互助的精神，拓展了学生的学习能力，学生也从中尝到了成功的乐趣。