小升中重点知识点：余数问题

一、中国古代剩余定理

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果。诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘。五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘。七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘。除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求。

二、余数性质

同余定义

如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a，b，c均为自然数）

例如：17与13除以3的余数都是2，所以(17－11)能被3整除。

同余定理

（一）可加性

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

（二）可减性

a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2。

注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的'余数等于5－(4－3)=4。

（三）可乘性

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数。