等差数列数学总复习汇总

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高三特长班数学总复习——等差数列

一、知识梳理

1.数列：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 .如，则 ______ , =______,1是该数列中的项么？如果是，是第几项？8是不是该数列的项?

2、数列中，，求则等于多少？

3.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，_______________等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的_____.

4.通项公式与前项和公式

⑴通项公式____________________⑵前项和公式________________或._________________

5.等差中项: 是与的等差中项，，成等差数列.

6.等差数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等差数列；

⑵中项法： ( ) 是等差数列.

7.等差数列的常用性质

(1) (2) 若，则_______________；

二、大学联考链接

1、.在等差数列中, ,则

2、设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）

A．13 B．35 C．49 D． 63

2、已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

三、抢分演练

1、若等差数列{ }的前三项和且，则等于（）

A．3 B．4 C．5 D．6

2、等差数列的前项和为若（）

A．12 B．10 C．8 D．6

3、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）

A．9 B．10 C．11 D．12

4、已知等差数列的前项和为，若，则

5、已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）

A．64B．100C．110D．120

6、若等差数列的前5项和，且，则（）

A．12B．13C．14D．15

7、设等差数列的前n项和为 ,若 ,则 . .

8、如果等差数列中， + + =12，那么 + +…+ =

（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35

9、设数列的前n项和，则的值为

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

10、等差数列{an}的前n项和为Sn，若（）

A．12 B．18 C．24 D．42

11、设等差数列的前项和为，若，，则（）

A．63 B．45 C．36 D．27

12、已知数列{ }的前项和，则其通项；若它的第项满足，则．

2016届大学联考数学难点突破复习导数的概念

音美班案1 导数的概念（理）

一、基础过关

1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ 0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ 的比的，即＝＝．

2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内的导数都存在，就说在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的，记作或，函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数.

3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数值等于函数所表示曲线在相应点处的 .

4．求导数的方法

（1）＝；＝；(n∈Q) ＝，＝

（2）＝＝＝，＝

（3）复合函数的导数：

二、典型例题

例1、一质点运动的方程为。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度

例2求下列函数的导数

（1）

（2）

变式训练1：求y=tanx的导数.

例3、已知曲线y=

（1）求曲线在x=2处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

变式训练2、例3中求斜率为4的曲线的切线方程。

三、课后练习

1、（全国 Ⅰ新卷理3 ）曲线在点（-1，-1）处的切线方程为（）

（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2

2、(2009?全国Ⅰ理，9)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2

3．(2010?聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e22

4、若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 ( )A．1 B.2 C.22 D.3

四、小结归纳

理解平均变化率的实际意义，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.

音美班案2 导数的应用1（理）

一、基础过关

1、函数单调性：

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.

如果函数在区间内恒有 =0，则为常数.

2. 极值的判别方法：当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

注：若点是可导函数的极值点，则 =0. 反之不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例：①函数，使 =0，但不是极值点.

②函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.

3. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

二、例题分析

例. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x= 时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；?

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

变式训练1. 设x=1与x=2是函数的两个极值点。

（1）试确定常数a和b的值；

（2）试判断x=1,x=2是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值。

三、课后练习

1、(2010?聊城模拟)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,3) B.0，32 C．(0，＋∞) D．(－∞，3)

2、若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的范围是

A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)

3、若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）??A.a≥3 ?B.a=3 C.a≤3 D.04、设为实数，函数的极值为

5、已知函数f(x)的导函数为 ,且满足f(x)=3x2+2x ,则 =

四、归纳小结

研究可导函数的单调性、极值（最值）时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或 >0(<0)的x的取值范围．

音美班教学案3 导数的应用2（理）

例1. 已知f(x)=ex-ax-1.?（1）求f(x)的单调增区间；?

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；?

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.?

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；?

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；?

（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.?

例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

2016届大学联考数学函数复习教案

2013高中数学精讲精练第二函数

【知识导读】

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对国中所学二次函数作深入理解．

1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．

2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无的条感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．

3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．

4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．

第1 函数的概念

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．

【基础练习】

1．设有函数组：① ，；② ，；③ ，；④ ，；⑤ ，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．

2.设集合，，从到有四种对应如图所示：

其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．

3.写出下列函数定义域：

(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；

(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．

4．已知三个函数:(1) ； (2) ； (3) ．写出使各函数式有意义时，，的约束条：

(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．

5.写出下列函数值域：

(1) ，；值域是．

(2) ；值域是．

(3) ，．值域是．

【范例解析】

例1.设有函数组：① ，；② ，；

③ ，；④ ，．其中表示同一个函数的有③④．

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．

解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．

例2.求下列函数的定义域：① ； ② ；

解：（1）① 由题意得：解得且或且，

故定义域为．

② 由题意得：，解得，故定义域为．

例3.求下列函数的值域：

（1），；

（2）；

（3）．

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．

（1）解：，，函数的值域为；

（2）解法一：由，，则，，故函数值域为．

解法二：由，则，，，，故函数值域为．

（3）解：令，则，，

当时，，故函数值域为．

点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．

【反馈演练】

1．函数f(x)＝的定义域是___________．

2．函数的定义域为_________________．

3. 函数的值域为________________．

4. 函数的值域为_____________．

5．函数的定义域为_____________________．

6.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．

(1) 求A；

(2) 若B A，求实数a的取值范围．

解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．

(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．

∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．

∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，

∴ ≤a<1或a≤－2，故当B A时，实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1)．

第2 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．

【基础练习】

1.设函数，，则 _________； __________．

2.设函数， ,则 _____3_______；；．

3.已知函数是一次函数，且， ,则 __15___．

4.设f(x)＝，则f[f( )]＝_____________．

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．

【范例解析】

例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．

分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．

解法一：设，则解得

故所求的解析式为．

解法二：，抛物线有对称轴．故可设．

将点代入解得．故所求的解析式为．

解法三：设，由，知有两个根0，2，

可设，，

将点代入解得．故所求的解析式为．

点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．

【反馈演练】

1．若，，则（ D ）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

2．已知，且，则m等于________．

3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．

解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，

则

∵点在函数的图象上

第3 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．

【基础练习】

1.下列函数中：

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．

2.函数的递增区间是___ R ___．

3.函数的递减区间是__________．

4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．

5.已知下列命题：

①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；

②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；

③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；

④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．

其中正确命题的序号有_____②______．

【范例解析】

例 . 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；

（2）函数在区间和上都是单调递增函数．

分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．

证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，

因为

又，则，，得，

故，即，即．

所以，函数在区间上是单调增函数．

（2）对于区间内的任意两个值，，且，

因为，

又，则，，得，

故，即，即．

所以，函数在区间上是单调增函数．

同理，对于区间，函数是单调增函数；

所以，函数在区间和上都是单调增函数．

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．

例2.确定函数的单调性．

分析：作差后，符号的确定是关键．

解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，

则

又，，

，即．

所以，在区间上是增函数．

点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．

【反馈演练】

1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．

2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则 __25___.

3. 函数的单调递增区间为 .

4. 函数的单调递减区间为．

5. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

解：设对于区间内的任意两个值，，且，

则，

，，得，，，即．

第4 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．

【基础练习】

1.给出4个函数：① ；② ；③ ；④ ．

其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．

2. 设函数为奇函数，则实数－1 ．

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）

A. B. C. D.

【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．

解：（1）定义域为，关于原点对称； ,

所以为偶函数．

（2）定义域为，关于原点对称；，

，故为奇函数．

（3）定义域为，关于原点对称；，且，

所以既为奇函数又为偶函数．

（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．

（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．

（6）定义域为，关于原点对称；

，又，

，故为奇函数．

点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．

例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．

分析：奇函数若在原点有定义，则．

解：设，则，．

又是奇函数，，．

当时，．

综上，的解析式为．

作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．

点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“ ”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“ ”实现转化；（4）根据图像写单调区间．

【反馈演练】

1．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）

A． B． C． D．

2. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

3. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．

4．设函数为奇函数，则 ________．

5．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取

值范围是（－2，2）．

6. 已知函数是奇函数．又， ,求a，b，c的值；

解：由，得，得．又，得，

而，得，解得．又，或1．

若，则，应舍去；若，则．

所以，．

综上，可知的值域为．

第5 函数的图像

【考点导读】

1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；

2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．

【基础练习】

1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：

（1）；

（2）．

2.作出下列各个函数图像的示意图：

（1）；（2）；（3）．

解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；

（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；

（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：

3.作出下列各个函数图像的示意图：

（1）；（2）；（3）；（4）．

解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；

（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；

（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；

（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．

4. 函数的图象是（ B ）

【范例解析】

例1.作出函数及，，，，的图像．

分析：根据图像变换得到相应函数的图像．

解：与的图像关于y轴对称；

与的图像关于x轴对称；

将的图像向左平移2个单位得到的图像；

保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；

将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．

点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；

与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；

保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；

将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．

例2.设函数 .

（1）在区间上画出函数的图像；

（2）设集合 . 试判断集合和之间的关系，并给出证明.

分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．

解：（1）

（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此 .

由于 .

【反馈演练】

1．函数的图象是（ B ）

2. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到．

3．已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 = ．

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则

f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．

5. 作出下列函数的简图：

（1）；（2）；（3）．

第6 二次函数

【考点导读】

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；

2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

【基础练习】

1.已知二次函数 ,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为，与轴的交点坐标为，最小值为．

2.二次函数的图像的对称轴为 ,则 __－2___，顶点坐标为，递增区间为，递减区间为．

3.函数的零点为．

4.实系数方程两实根异号的充要条为；有两正根的充要条为；有两负根的充要条为．

5.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．

【范例解析】

例1.设为实数，函数，．

（1）讨论的奇偶性；

（2）若时，求的最小值．

分析：去绝对值．

解：（1）当时，函数

此时，为偶函数．

当时，，，

此时既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）

由于在上的最小值为，在内的最小值为．

故函数在内的最小值为．

点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．

例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．

分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．

解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有 =2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，．

综上所述，有 = ．

点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的`位置及在区间上的单调性．

【反馈演练】

1．函数是单调函数的充要条是．

2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．

3. 设，二次函数的图象为下列四图之一：

则a的值为（ B ）

A．1B．－1C． D．

4．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．

5.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．

6.已知函数在有最小值，记作．

（1）求的表达式；

（2）求的最大值．

解：（1）由知对称轴方程为，

当时，即时，；

当，即时，；

综上，．

（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．

7. 分别根据下列条,求实数a的值：

（1）函数在在上有最大值2；

（2）函数在在上有最大值4．

解：（1）当时，，令，则；

当时，，令，（舍）；

当时，，即．

综上，可得或．

（2）当时，，即，则；

当时，，即，则．

综上，或．

8. 已知函数．

（1）对任意，比较与的大小；

（2）若时，有，求实数a的取值范围．

解：（1）对任意，，

故．

（2）又，得，即，

得，解得．

第7 指数式与对数式

【考点导读】

1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；

2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条；

4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．

【基础练习】

1.写出下列各式的值：

； ____4____；；

___0_____； ____1____； __－4__．

2.化简下列各式：

（1）；

（2）．

3.求值：（1） ___－38____；

（2） ____1____；

（3） _____3____．

【范例解析】

例1. 化简求值：

（1）若，求及的值；

（2）若，求的值．

分析：先化简再求值．

解：（1）由，得，故；

又，；，故．

（2）由得；则．

点评：解条求值问题：（1）将已知条适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．

例2.（1）求值：；

（2）已知，，求．

分析：化为同底．

解：（1）原式= ；

（2）由，得；所以．

点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．

例3. 已知，且，求c的值．

分析：将a，b都用c表示．

解：由，得，；又，则，

得．，．

点评：三个方程三个未知数，消元法求解．

【反馈演练】

1．若，则．

2．设，则．

3．已知函数，若，则－b．

4．设函数若，则x0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．

5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．

6．若，，则k =__－1__．

7．已知函数，且．

（1）求实数c的值；

（2）解不等式．

解：（1）因为，所以，

由，即，．

（2）由（1）得：

由得，当时，解得．

当时，解得，

所以的解集为．

第8 幂函数、指数函数及其性质

【考点导读】

1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；

2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；

3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

【基础练习】

1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．

2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．

3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．

4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．

5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．

6.已知函数过定点，则此定点坐标为．

【范例解析】

例1.比较各组值的大小：

（1），，，；

（2），，，其中；

（3），．

分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．

解：（1），而，

（2）且，．

（3）．

点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．

例2.已知定义域为的函数是奇函数,求的值；

解：因为是奇函数，所以 =0，即

又由f（1）= －f（－1）知

例3.已知函数，求证：

（1）函数在上是增函数；

（2）方程没有负根．

分析：注意反证法的运用．

证明：（1）设，，

，，又，所以，，，则

故函数在上是增函数．

（2）设存在，满足，则．又，

即，与假设矛盾，故方程没有负根．

点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．

【反馈演练】

1．函数对于任意的实数都有（ C ）

A． B．

C． D．

2．设，则（ A ）

A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1

3．将y=2x的图像 ( D ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数的图像．

A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位

C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位

4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）

A． B．

C． D．

5．函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为___2__．

6．若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围．

解：由得，，

7．已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

解：（1）定义域为R，则，故是奇函数．

（2）设，，

当时，得，即；

综上，实数a的取值范围是．

第9 对数函数及其性质

【考点导读】

1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；

2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；

3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．

【基础练习】

1. 函数的单调递增区间是．

2. 函数的单调减区间是．

【范例解析】

例1. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．

（2）设函数，给出下列命题：

① 有最小值； ②当时，的值域为；

③当时，的定义域为；

④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．

则其中正确命题的序号是_____________．

分析：注意定义域，真数大于零．

解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．

（2）① 有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；

③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．

点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．

例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

分析：利用定义证明复合函数的单调性．

解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

，所以是奇函数.

研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则

得 >0，即在（0，1）内单调递减，

由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.

点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．

【反馈演练】

1．给出下列四个数：① ；② ；③ ；④ .其中值最大的序号是___④___.

2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．

3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．

4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．

5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.

6．下列四个函数：① ； ② ；③ ；

④ .其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.

7．求函数 , 的最大值和最小值．

解：

令，，则，

即求函数在上的最大值和最小值．

故函数的最大值为0，最小值为．

8．已知函数．

（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性，并证明．

解：（1）解：由，故的定义域为．

（2），故为奇函数．

（3）证明：设，则，

当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；

当时，，故在，上为增函数．

第10 函数与方程

【考点导读】

1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．

2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．

3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．

【基础练习】

1.函数在区间有_____1 ___个零点．

2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：

123456

－2.33.40－1.3－3.43.4

则在区间上的零点至少有___3__个．

【范例解析】

例1. 是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，

则下列关于函数的结论：

①若a<0，则函数的图象关于原点对称；

②若a=－1，－2<b<0，则方程 =0有大于2的实根；

③若a≠0，，则方程 =0有两个实根；

④若，，则方程 =0有三个实根．

其中，正确的结论有___________．

分析：利用图像将函数与方程进行互化．

解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．

点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．

例2.设，若，，．

求证：（1）且；

（2）方程在内有两个实根．

分析：利用，，进行消元代换．

证明：（1），，由，得，代入得：

，即，且，即，即证．

（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．

点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布做．

【反馈演练】

1．设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是．

2．设函数若，，则关于x的方程解的个数为（ C ）

A．1B．2C．3D．4

3．已知，且方程无实数根，下列命题：

①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；

③若，则必存在实数，使

④若，则不等式对一切实数都成立．

其中正确命题的序号是 ①②④ ．

4．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．

解：令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

5．已知函数是偶函数,求k的值；

解：是偶函数，

由于此式对于一切恒成立，

6．已知二次函数．若a>b>c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.

证明：

的图象与x轴有两个交点.

第11 函数模型及其应用

【考点导读】

1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．

2.理解数据拟合是用对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条借助计算工具解决一些简单的实际问题．

3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．

【基础练习】

1今有一组实验数据如下：

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，

其中最接近的一个的序号是______③_______．

2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.

(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）

整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.

（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

即解不等式得 .

答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.

【范例解析】

例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得

h(t)=f(t)－g(t)，

即

当0≤t≤200时，配方整理得

h(t)=－ (t－50)2+100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200<t≤300时，配方整理得：h(t)=－ (t－350)2+100，

所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．

综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【反馈演练】

1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________ ．

2．某地高上温度从脚起每升高100m降低0.7℃，已知顶的温度是14.1℃，脚的温度是26℃，则此的高度为_____17_____m．

3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．

4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?

解：由题意得 xy+ x2=8，∴y= = (0<x<4 ).

则框架用料长度为l=2x+2y+2( )=( + )x+ ≥4 .

当( + )x= ,即x=8－4 时等号成立.

此时，x=8－4 ，，

故当x为8－4 m，y为 m时，用料最省.

2016届大学联考数学数列复习教案

2013高中数学精讲精练第五数列

【知识图解】

【方法点拨】

1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．

2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．

3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．

4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．

5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．

第1 数列的概念

【考点导读】

1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；

2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；

3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。

【基础练习】

1.已知数列满足，则 = 。

分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:

2．在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。

3．设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.

4．已知数列的前项和，则其通项．

【范例导析】

例1．设数列的通项公式是，则

（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？

（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；

（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点解决，一样的是要注意定义域问题。

解：（1）由得：或

所以70是这个数列中的项，是第13项。

（2）这个数列的前5项是；（图象略）

（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，

所以当时，最小，即最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。

例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上,求数列的通项公式。

分析：根据题目的条利用与的关系：，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列的通项。

解：依题意得，即。

当n≥2时， ;

当n=1时，所以。

例3．已知数列｛a ｝满足 ,

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足 ,证明：是等差数列;

分析：本题第1问采用构造等比数列求通项问题，第2问依然是构造问题。

解：（I）

是以为首项，2为公比的等比数列。

即

（II）

②－①，得即 ③

③－④，得即是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

【反馈演练】

1．若数列前8项的值各异，且对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（2）。

（1）（2）（3）（4）

2．设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是等差数列，但不是等比数列。

3．设f（n）= （n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于。

4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万）近似地满足Sn= （21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万的月份是 7月、8月。

5．在数列中，则 505 。

6．数列中，已知，

（1）写出，，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？

解：（1）∵ ，∴ ，

（2）令，解方程得，

∵ ，∴ ，即为该数列的第15项。

第2 等差、等比数列

【考点导读】

1．掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；

2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；

3．注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】

1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。

2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 8 。

3．设是公差为正数的等差数列，若，，则。

4．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】

例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

13 项。

（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

解：（1）答案：13

法1：设这个数列有n项

∴n＝13

法2：设这个数列有n项

又 ∴n＝13

（2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4

又a1a2a3＝48， ∵a2＝4，∴a1a3＝12，a1＋a3＝8，

把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，

∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。

例2．（1）已知数列为等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明

分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。

解：（1）设等差数列的公差为d，

由即d=1。

所以即

（II）证明：因为，

所以

点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。

例3．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。

（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。

解：（1）∵ ∴

(n≥2)

由得，，∵ ，∴ ，

即从第2项起是以2为公比的等比数列。

（2）

当n≥2时，

∵ 是等比数列, ∴ (n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

【反馈演练】

1．已知等差数列中，，则前10项的和＝ 210 。

2．在等差数列中，已知则＝ 42 。

3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。

4．如果成等比数列，则 3 ， -9 。

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

解：(1)依题意有：

解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.

(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条为：ak≥0且ak+1＜0,即

∵a3=12, ∴ ， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－

∵－＜d＜－3,∴ ＜－＜4,得5.5＜k＜7.

因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.

解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，

因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13= S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12= S12>0, ∴a6≥－a7>0

故在S1，S2，…，S12中S6最大.

解法三：依题意得：

最小时，Sn最大；

∵－＜d＜－3, ∴6＜ (5－ )＜6.5.

从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－ )］2最小，所以S6最大.

点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.

第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk为最大值的充要条是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了大学联考试题注重能力考查的特点.

第3 数列的求和

【考点导读】

对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：

（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式

（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）

（3）倒序相加法：如果一个数列｛a ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2

（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。

【基础练习】

1．已知公差不为0的正项等差数列｛an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,

则S5 = 30 。

2．已知数列｛an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则bn=__3n+1+2___

3．若数列满足：，2，3….则 .

【范例导析】

例1.已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设，求数列

解：（I）依题意

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例2．数列前项之和满足：

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若数列的公比为 ,数列满足：，求数列的通项公式；

（3）定义数列为，，求数列的前项之和。

解：（1）由得：

两式相减得：即 ,

∴数列是等比数列。

（2），则有 ∴ 。

（3），

点评：本题考查了与之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。

例3．已知数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．

分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：（Ⅰ），，

又，数列是首项为，公比为的等比数列．

，即 .

当时，则

，对任意的，．

点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。

【反馈演练】

1．已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前10项的和为 75 。

2．已知数列的通项公式，其前项和为，则 377 。

3．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为。

4．已知数列中，且有，则数列的通项公式为

，前项和为。

5．数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+anan+1－nan+12=0，

又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.

(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；

(2)求数列{bn}的前n项和Tn；

解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，

(2)Tn=2n+n－1.

6．数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;

(3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，?

d= =－2,∴an=10－2n.

(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，

故Sn=

(3)bn=

；要使Tn＞总成立，需＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故适合条的m的最大值为7.

第4 数列的应用

【考点导读】

1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】

1．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 .

2．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为。

3．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则。

【范例导析】

例1．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根

（1）求证：为等差数列；

（2）已知分别求数列的通项公式；

（3）求数。

（1）证明：由的两根得：

是等差数列

（2）由（1）知

∴ 又也符合该式，

（3） ①

①—②得

点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

例2．设数列满足，且数列是等差数列，数列是等比数列。

（I）求数列和的通项公式；

（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。

解：由题意得：

由已知得公比

（2）

，所以当时，是增函数。

又，所以当时，

又，所以不存在，使。

【反馈演练】

1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本。

2．等比数列的前项和为，，则 54 。

3．设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列｛｝的前项和，则．

4.已知数列

（1）求数列的通项公式；（2）求证数列是等比数列；

（3）求使得的集合.

解：（1）设数列，由题意得：

解得：

（2）由题意知：，

为首项为2，公比为4的等比数列

（3）由

5.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系 .

证明：是等比数列；

证明：∵ ① ∴ ②

②－①，得

故:数列{an}是等比数列

不等式的解法

6.5 不等式的解法（二）

●知识梳理

1.x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）；

x＜a －a＜x＜a（a＞0）.

2.形如x－a+x－b≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.

4.绝对值不等式的性质：

a－b≤a±b≤a+b.

思考讨论

1.在x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）、x＜a －a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改为a∈R还成立吗?

2.绝对值不等式的性质中等号成立的条是什么?

●点击双基

1.设a、b是满足ab＜0的实数，那么

A.a+b＞a－b

B.a+b＜a－b

C.a－b＜a－b

D.a－b＜a+b

解析：用赋值法.令a=1，b=－1，代入检验.

答案：B

2.不等式2x2－1≤1的解集为

A.{x－1≤x≤1}B.{x－2≤x≤2}

C.{x0≤x≤2}D.{x－2≤x≤0}

解析：由2x2－1≤1得－1≤2x2－1≤1.

∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.

答案：A

3.不等式x+log3x＜x+log3x的解集为

A.（0，1）B.（1，+∞）

C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）

解析：∵x＞0，x与log3x异号，

∴log3x＜0.∴0＜x＜1.

答案：A

4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.

解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，

令t=x＞0，则a≤ .

而 ≥ =2 ，

∴a≤2 .

答案：a≤2

5.已知不等式2x－t+t－1＜0的解集为（－，），则t=____________.

解析：2x－t＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，

2t－1＜2x＜1，t－＜x＜ .

∴t=0.

答案：0

●典例剖析

【例1】解不等式2x+1+x－2＞4.

剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x－2=0，得两个零点x1=－，x2=2.

解：当x≤－时，原不等式可化为

－2x－1+2－x＞4，

∴x＜－1.

当－＜x≤2时，原不等式可化为

2x+1+2－x＞4，

∴x＞1.又－＜x≤2，

∴1＜x≤2.

当x＞2时，原不等式可化为

2x+1+x－2＞4，∴x＞ .

又x＞2，∴x＞2.

综上，得原不等式的解集为{xx＜－1或1＜x}.

深化拓展

若此题再多一个含绝对值式子.如：

2x+1+x－2+x－1＞4，你又如何去解？

分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，

得x1=－，x2=1，x3=2.

解：当x≤－时，原不等式化为

－2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－ .

当－＜x≤1时，原不等式可化为

2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.

当1＜x≤2时，原不等式可化为

2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.

又1＜x≤2，

∴1＜x≤2.

当x＞2时，原不等式可化为

2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞ .

又x＞2，∴x＞2.

综上所述，原不等式的解集为{xx＜－或x＞1}.

【例2】解不等式｜x2－9｜≤x＋3.

剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用x≤a －a≤x≤a去绝对值.

解法一：原不等式（1）或（2）

不等式（1） x＝－3或3≤x≤4；

不等式（2） 2≤x＜3.

∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.

解法二：原不等式等价于

或x≥2 x=－3或2≤x≤4.

∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.

【例3】（理）已知函数f（x）=xx－a（a∈R）.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a2.

解：（1）当a=0时，

f（－x）=－x－x=－xx=－f（x），

∴f（x）是奇函数.

当a≠0时，f（a）=0且f（－a）=－2aa.

故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.

∴f（x）是非奇非偶函数.

（2）由题设知xx－a≥2a2，

∴原不等式等价于 ①

或 ②

由①得 x∈ .

由②得

当a=0时，x≥0.

当a＞0时，

∴x≥2a.

当a＜0时，

即x≥－a.

综上

a≥0时，f（x）≥2a2的解集为{xx≥2a}；

a＜0时，f（x）≥2a2的解集为{xx≥－a}.

（）设函数f（x）=ax+2，不等式 f（x）＜6的解集为（－1，2），试求不等式 ≤1的解集.

解：ax+2＜6，

∴（ax+2）2＜36，

即a2x2+4ax－32＜0.

由题设可得

解得a=－4.

∴f（x）=－4x+2.

由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.

解得x＞或x≤ .

∴原不等式的解集为{xx＞或x≤ }.

●闯关训练

夯实基础

1.已知集合A={xa－1≤x≤a+2}，B={x3＜x＜5}，则能使A B成立的实数a的取值范围是

A.{a3＜a≤4}B.{a3≤a≤4}

C.{a3＜a＜4}D.

解析：由题意知得3≤a≤4.

答案：B

2.不等式x2+2x＜3的解集为____________.

解析：－3＜x2+2x＜3，即

∴－3＜x＜1.

答案：－3＜x＜1

3.不等式x+2≥x的解集是____________.

解法一：x+2≥x （x+2）2≥x2 4x+4≥0 x≥－1.

解法二：在同一直角坐标系下作出f（x）=x+2与g（x）=x的图象，根据图象可得x≥－1.

解法三：根据绝对值的几何意义，不等式x+2≥x表示数轴上x到－2的距离不小于到0的距离，∴x≥－1.

答案：{xx≥－1}

评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.

4.当0＜a＜1时，解关于x的不等式a ＜ax－2.

解：由0＜a＜1，原不等式可化为＞x－2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

或 ②

解不等式组①得解集为{x ≤x＜2}，

解不等式组②得解集为{x2≤x＜5}，

所以原不等式的解集为{x ≤x＜5}.

5.关于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若x1+x2=2，求m的值.

解：x1、x2为方程两实根，

∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.

∴m≥ 或m≤ .

又∵x1x2= ＞0，∴x1、x2同号.

∴x1+x2=x1+x2=2m－1.

于是有2m－1=2，∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

6.解不等式 ≤ .

解：（1）当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜且x≠0时，原不等式显然成立．

（2）当x2－2＞0时，原不等式与不等式组等价．

x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.

∴｜x｜≥2.∴不等式组的解为｜x｜≥2，

即x≤－2或x≥2．

∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－，0）∪（0，）∪［2，＋∞）．

7.已知函数f（x）= 的定义域恰为不等式log2（x+3）+log x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解：由log2（x+3）+log x≤3得

x≥ ，

即f（x）的定义域为［，+∞）.

∵f（x）在定义域［，+∞）内单调递减，

∴当x2＞x1≥ 时，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－ +2）－（ax2－ +2）＞0 a（x1－x2）－（－）＞0

（x1－x2）（a+ ）＞0恒成立.

∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+ ）＞0

a+ ＜0.

∵x1x2＞－＞－，

要使a＜－恒成立，

则a的取值范围是a≤－ .

8.有点难度哟！

已知f（x）=x2－x+c定义在区间［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求证：

（1）f（0）=f（1）；

（2） f（x2）－f（x1）＜x1－x2；

（3） f（x1）－f（x2）＜；

（4） f（x1）－f（x2）≤ .

证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，

∴f（0）=f（1）.

（2） f（x2）－f（x1）=x2－x1x2+x1－1.

∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.

∴－1＜x1+x2－1＜1.

∴ f（x2）－f（x1）＜x2－x1.

（3）不妨设x2＞x1，由（2）知

f（x2）－f（x1）＜x2－x1.①

而由f（0）=f（1），从而

f（x2）－f（x1）= f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）≤ f（x2）－f（1）+ f（0）－

f（x1）＜1－x2+x1＜1－x2+x1.②

①+②得2 f（x2）－f（x1）＜1，

即 f（x2）－f（x1）＜ .

（4）f（x2）－f（x1）≤fmax－fmin=f（0）－f（）= .

探究创新

9.（1）已知a＜1，b＜1，求证：＞1；

（2）求实数λ的取值范围，使不等式＞1对满足a＜1，b＜1的一切实数a、b恒成立；

（3）已知a＜1，若＜1，求b的取值范围.

（1）证明：1－ab2－a－b2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.

∵a＜1，b＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.

∴1－ab2－a－b2＞0.

∴1－ab＞a－b，

= ＞1.

（2）解：∵ ＞1 1－abλ2－aλ－b2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.

∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0对于任意满足a＜1的a恒成立.

当a=0时，a2λ2－1＜0成立；

当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足a＜1的a恒成立，而＞1，

∴λ≤1.故－1≤λ≤1.

（3）＜1 （）2＜1 （a+b）2＜（1+ab）2 a2+b2－1－a2b2＜0 （a2－1）（b2－1）＜0.

∵a＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.

●思悟小结

1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.

2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.

●教师下载中心

教学点睛

1.绝对值是历年大学联考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.

2.无理不等式在新程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

拓展题例

【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.

分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.

证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.

（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.

由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.

又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，

因此抛物线与x轴必有公共点.

∴Δ≥0.

∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，

即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.

2016届大学联考数学备考复习：函数与方程思想

专题七：思想方法专题

第一讲函数与方程思想

【思想方法诠释】

函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来大学联考考查的重点。

1．函数的思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数与方程思想解决的相关问题

（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：

①解方程或解不等式；

②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；

③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；

④构造方程或不等式求解问题。

【核心要点突破】

要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题

例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。

思路精析：用a表示b→根据b＞0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。

解析：方法一：（看成函数的值域）

即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。

当且仅当a-1= ，即a=3时取等号.

又a＞3时, a-1+ +5是关于a的单调增函数,

∴ab的取值范围是[9,+∞).

方法二(看成不等式的解集)

∵a,b为正数, ∴a+b≥2 ,又ab= a+b+3, ∴ab≥2 +3.

即

解得

方法三:若设ab=t,则a+b=t-3, ∴a,b可看成方程的两个正根.

从而有 ,即

解得t≥9,即ab≥9.

注(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程 (组),然后由方程 (组)求得.

(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.

(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.

(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.

要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题

例2：已知函数或与的图象在内至少有一个公共点，试求的取值范围。

思路精析：化简的解析式→令 = →分离 →求函数的值域→确定的范围

解析：

与的图象在内至少有一个公共点，即有解，即令 = ，

当且仅当，即cosx=0时“=”成立。

∴当a≥2时，与所组成的方程组在内有解，即与的图象至少有一个公共点。

注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题．即把函数问题用方程的思想去解决．

（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围．研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决．

要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题

例3：（1）已知且那么（）

（2）设不等式对满足m∈[-2，2]的一切实数 m都成立，求x的取值范围．

思路精析：（1）先把它变成等价形式再构造辅助函数利用函数单调性比较．

（2）此问题常因为思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使f(m)= ，则问题转化为求一次函数（或常函数）f(m)的值在[-2，2]内恒负时，参数x应满足的条件．

解析：（1）选B．设因为均为R上的增函数，所以是R上的增函数．又由，即，即x+y＞0．

(2)设f(m)= ，则不等式2x-1＞m 恒成立恒成立．∴在时，

即

解得，

故x的取值范围是．

注：1．在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法；

2．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数．

要点考向3：运用函数与方程思想解决最优化问题

例4：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 ,设AB=2x,BC=y.

（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；

（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

解析：（Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为 .

所以，

得 ----------------------4分

依题意知：得

所以，（）. ----------------------6分

（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

----------------------8分

. ----------------------11分

因为 ,

所以，当时，凹槽的强度最大.

答: 当时，凹槽的强度最大. -- ------------13分

注：解析几何、立体几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值。

【跟踪模拟训练】

一、选择题（每小题6分，共36分）

1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( )

(A)32(B)43(C)49(D)60

2．方程有解，则m的最大值为（）

(A)1(B)0(C)-1(D)-2

3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的

轴截面如图所示，其底部有一个小洞，

满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面

的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V,

则函数V=f(h)的大致图象可能是（）

4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )

(A)1<x<3

(B)x<1或x>3

(D)x<1或x>2

5.若正实数a,b满足ab=ba，且a<1,则有( )

(A)a>b(B)a<b

(C)a=b(D)不能确定a,b的大小

6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．的定义域和值域都是[1，k]，则k=

8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ,n=

9.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，f′(x)?g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.

三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)

10.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有相等实根.

(1)求函数f( x)的解析式;

(2)是否存在实数m,n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由.

11.某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC,OA∥BC，且AB=BC=2OA=4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB、BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.

12．设的极小值为-8，其导数的图象经过（-2，0），两点，如图所示．

（1）求f(x)的解析式；

（2）若对x∈[-3，3]，都有恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1．

2．

3．【解析】选A.设鱼缸底面积为S,则V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函数且是减函数.

4．【解析】选B.由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得

a(x-2)+x2-4x+4>0，

令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，

由不等式f(x)>0恒成立,

即g(a)>0在［-1,1］上恒成立.

5．

6．

7．

8．

9．【解析】令F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)是奇函数.

又当x<0时，f′(x)=f′（x）g(x)+f(x)g′(x)>0，

∴x<0时，F(x)为增函数.

又F(x)为奇函数，故F(x)在［0，+∞）也是增函数.

∵F(-3)=f(-3)g(-3)

=0=-F(3)，

∴F(x)<0的解集是

(-∞,-3)∪(0,3)，

如图.

答案：（-∞,-3）∪（0，3）

10．【解析】(1)∵方程ax2+bx-2x=0有相等实根,

∴Δ=(b-2)2=0,得b=2,由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴

方程为x= =1,

得a=-1.故f(x)=-x2+2x.

11．【解析】以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，

设抛物线的方程为x2=2py，

由C(2,4)代入得:p= ，

所以曲线段OC的方程为:y=x2(x∈［0,2］).

A(-2,0)，B(-2,4),设P(x,x2)(x∈［0,2］)，

过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N,

故PQ=2+x,PN=4-x2，

则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x2)(x∈［0,2］).

S=-x3-2x2+4x+8，

12．

【备课资源】

1.已知抛物线y2=4x上一点A(x0,y0)，F是其焦点，若y0∈［1,2］，则AF的范围是( )

(A)［ ,1］(B)［ ,2］(C)［1,2］(D)［2，3］

【解析】选B.抛物线准线方程为x=-1,则AF=x0+1,

4.已知命题p：“对 x∈R， m∈R，使4x+2xm+1=0”，若命题 p是假命题，则实数m的取值范围是( )

(A)-2≤m≤2(B)m≥2

(C)m≤-2(D)m≤-2或m≥2

【解析】选C. 由已知：命题p为真命题,

即方程4x+2xm+1=0有解,

∴-m=2x+2-x≥2，即m≤-2.

6.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的图象在x=2处的切线互相平行.

(1)求m的值；

(2)设F(x)=g(x)-f(x).当x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范围.

所以当1≤x<2时，G′(x)<0，

当20.

故G(x)在［1,2)是单调减函数,在(2,4］是单调增函数.

所以G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18.

因为当x∈［1,4］时，F(x)≥2tln4恒成立,

所以F(x)min ≥2tln4.

即ln16≥2tln4，

解得t≤1.

综上所述,满足条件的t的取值范围是(-∞,1］.

7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元.

（1）写出v关于ω的函数关系式；

（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.

【解析】（1）依题意设v=kω2,

又当ω=3时，v=54 000，∴k=6 000.

故v=6 000 ω2.

2016届大学联考数学三角函数知识导航复习教案

第五章三角函数

大学联考导航

考试要求重难点击命题展望

1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.

4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－ , )上的单调性.

5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1 ，＝tan x.

6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.

7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)

(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.

本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是大学联考数学必考的基础知识之一.在大学联考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的大学联考命题原则.

知识网络

5.1 任意角的三角函数的概念

典例精析

题型一象限角与终边相同的角

【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.

【解析】因为α是第二象限角，

所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).

因为2k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.

因为k 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，

当k＝2n(n∈Z)时，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，

当k＝2n＋1(n∈Z)时，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.

所以α2是第一或第三象限角.

【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.

如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.

【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是( )

A.第一象限角 B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角

【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，

得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.

当k是奇数时，α是第三象限角.

当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.

题型二弧长公式，面积公式的应用

【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.

【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

因为α＝60°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，

S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.

(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，

S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，

当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.

【点拨】用弧长公式l＝ α R与扇形面积公式S＝12lR＝12R2α时，α的单位必须是弧度.

【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.

【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S，

所以周长C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，

当且仅当l＝2R时，C＝4S，

所以当α＝lR＝2时，周长C有最小值4S.

题型三三角函数的定义，三角函数线的应用

【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤32的角x的集合.

【解析】(1)由 ?交点为(－55，－255)或(55，255)，

所以sin α＝±255.

(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.

②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.

③写集合：所求角x的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.

【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.

【变式训练3】函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为 .

【解析】

?2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.

所以函数的定义域为{x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.

总结提高

1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.

2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k?360°＋π3的错误书写.

3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

5.2 同角三角函数的关系、诱导公式

典例精析

题型一三角函数式的化简问题

【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.

【变式训练1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .

【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.

因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.

所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.

题型二三角函数式的求值问题

【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).

(1)若a∥b，求tan θ的值；

(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.

【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，

于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.

(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，

所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，

于是sin(2θ＋π4)＝－22.

又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，

所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.

因此θ＝π2或θ＝3π4.

【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( )

A.45 B.85 C.65 D.2

【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故选B.

题型三三角函数式的简单应用问题

【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：

(1)sin x－cos x的值；

(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.

【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，

所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.

(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)

＝75×(1－1225)＝91125.

【点拨】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x取值符号.

【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.

【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]

＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.

总结提高

1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.

2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.

5.3 两角和与差、二倍角的三角函数

典例精析

题型一三角函数式的化简

【例1】化简 (0＜θ＜π).

【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，

所以原式＝

＝＝－cos θ.

【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.

【变式训练1】化简2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).

【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.

题型二三角函数式的求值

【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.

(1)求tan x的值；

(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.

【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0?tan x2＝2，所以tan x＝＝2×21－22＝－43.

(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x

＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.

【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .

【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.

题型三已知三角函数值求解

【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.

【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，

所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，

又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，

因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，

又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.

【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.

【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( )

A.α＝βB.α＜β

C.α＞β D.以上都有可能

【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.

又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.

方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，

所以sin α＜sin β.

又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.

总结提高

1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；

(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；

(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.

2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

5.4 三角恒等变换

典例精析

题型一三角函数的求值

【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.

【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝＝12.

由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，

所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，

即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.

又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.

【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.

【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )

A.1318 B.1322 C.723 D.318

【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，

所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.

故选C.

题型二等式的证明

【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).

【证明】证法一：

右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α

＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.

证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，

所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.

【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.

【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.

【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，

所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，

所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.

即tan(α－β)＋4tan β＝0.

题型三三角恒等变换的应用

【例3】已知△ABC是非直角三角形.

(1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；

(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求证：tan C＝sin 2B3－cos 2B；

(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.

【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，

所以tan C＝－tan(A＋B)＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B，

所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，

即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.

(2)由(1)知tan C＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B＝tan B1＋2tan2B＝sin Bcos Bcos2B＋2sin2B＝

＝sin 2B2(2－1＋cos 2B2)＝sin 2B3－cos 2B.

(3)由(2)知tan C＝tan B1＋2tan2B＝12tan B＋1tan B≤122＝24，

当且仅当2tan B＝1tan B，即tan B＝22时，等号成立.

所以tan C的最大值为24.

【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.

【变式训练3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.

【解析】由已知得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)，

3(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，

即tan B＋tan C1－tan Btan C＝3，tan A＋tan B1－tan Atan B＝－33.

所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.

因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.

又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.

所以△ABC是顶角为2π3的等腰三角形.

总结提高

三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.

5.5 三角函数的图象和性质

典例精析

题型一三角函数的周期性与奇偶性

【例1】已知函数f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断g(x)的奇偶性.

【解析】(1)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2＝sin x2＋3cos x2＝2sin(x2＋π3)，

所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.

(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cos x2.

所以g(x)为偶函数.

【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.

【变式训练1】函数y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于( )

A.2π B.π C.π2 D.π3

【解析】y＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12

＝22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故选B.

题型二求函数的值域

【例2】求下列函数的值域：

(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；

(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.

【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x1－cos x＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x＋2cos x

＝2(cos x＋12)2－12，

当cos x＝1时，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，

当cos x＝－12时，f(x)min＝－12，所以函数的值域为[－12，4).

(2)f(x)＝2(cos π3cos x－sin π3sin x)＋2cos x

＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)，

所以函数的值域为[－23，23].

【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.

【变式训练2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.

【解析】令t＝sin x＋cos x，则有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝t2－12.

所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.

又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.

故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，

从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.

所以函数的值域为[－1，2＋12].

题型三三角函数的单调性

【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，φ＜π)的部分图象如图所示.

(1)求ω，φ的值；

(2)设g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函数g(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由图可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.

又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.

因为φ＜π，所以φ＝－π2.

(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos 2x.

所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－π2)]＝cos 2xsin 2x＝12sin 4x.

所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)时g(x)单调递增.

故函数g(x)的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).

【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.

【变式训练3】使函数y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )

A.[0，π3] B.[π12，7π12]

C.[π3，5π6] D.[5π6，π]

【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.

总结提高

1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.

2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.

3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.

4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

5.6 函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质

典例精析

题型一 “五点法”作函数图象

【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到.

【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，

又因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，

所以函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3.

(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.

(3)把y＝sin x图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图象，再把

y＝sin(x＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图象.

【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练1】函数

的图象如图所示，则( )

A.k＝12，ω＝12，φ＝π6

B.k＝12，ω＝12，φ＝π3

C.k＝12，ω＝2，φ＝π6

D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3

【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.

题型二三角函数的单调性与值域

【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.

(1)求ω的值；

(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.

令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x－π6)＋32，

当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.

令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，

即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.

【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.

【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则φ的最小值是( )

A.π4B.π3C.π2D.3π4

【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的图象.

因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，

故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).

当k＝0时，φ取得最小值π4，故选A.

题型三三角函数的综合应用

【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).

(1)求φ的值；

(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).

【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，

因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，

所以A2＋A2＝2，所以A＝2，

又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，

所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.

所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，

因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.

所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，

解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，

又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.

(2)方法一：因为φ＝π4，

所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sin π2x，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，

又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.

方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x＋φ)，

所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，

f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，

又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.

【点拨】函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.

【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .

【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx2＋2＝Acos 2ωx2＋A2＋2，则由题意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.

总结提高

1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.

2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.

3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数

y＝sin x的性质对应求解.

5.7 正弦定理和余弦定理

典例精析

题型一利用正、余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cos C＝34.

(1)求sin A的值；(2)求的值.

【解析】(1)由cos C＝34得sin C＝74.

所以sin A＝BC sin CAB＝1×742＝148.

(2)由(1)知，cos A＝528.

所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C

＝－15232＋7232＝－24.

所以 ? ＝ ?( ＋ )＝＋

＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.

【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.

【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C＝ .

【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absin C.

所以sin C＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C＝1，

又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.

题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题

【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.

(1)求角A的值；

(2)若＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).

【解析】(1)因为sin2A＝(32cos B＋12sin B)(32cos B－12sin B)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sin A＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.

(2)由＝12可得cbcos A＝12.①

由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②

由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③

③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.

因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.

又b＜c，所以b＝4，c＝6.

【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.

【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cos B＝

bcos C.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积.

【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得

a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

代入(2a－c)cos B＝bcos C，

整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，

即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，

在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，

因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°.

(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B

＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B，

将b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.

故S△ABC＝12acsin B＝32sin 60°＝334.

题型三正、余弦定理在实际问题中的应用

【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？

【解析】由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，

所以DB＝＝

＝＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，

所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时).

所以，救援船到达D点需要1小时.

【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：

(1)根据题意，抽象地构造出三角形；

(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；

(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；

(4)给出结论.

【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.

【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝mcos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.

总结提高

1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A＞sin B是一种等价关系.

2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.

3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.

5.8 三角函数的综合应用

典例精析

题型一利用三角函数的性质解应用题

【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.

设∠PAM＝α，0≤α≤π2，

则PM＝90sin α，AM＝90cos α，

所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，

于是S四边形PQCR＝PQ?PR

＝(100－90cos α)(100－90sin α)

＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.

设t＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.

S四边形PQCR＝8 100?t2－12－9 000t＋10 000

＝4 050(t－109)2＋950 (1≤t≤2).

当t＝2时，(S四边形PQCR)max＝14 050－9 0002 m2；

当t＝109时，(S四边形PQCR)min＝950 m2.

【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.

【变式训练1】若0＜x＜π2，则4x与sin 3x的大小关系是( )

A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x

C.4x≥sin 3xD.与x的值有关

【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故选A.

题型二函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用

【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.

(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为12.所以y＝12cos π6t＋1.

(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，

所以12cos π6t＋1＞1，所以cos π6t＞0，

所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①

因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.

故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.

【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.

【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正确结论的序号是 .

【解析】①②④.

题型三正、余弦定理的应用

【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.

【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得

BM＝ABsin φsin∠AMB＝asin φsin(φ＋β)，

同理在△BAN中，BN＝ABsin θsin∠ANB＝asin θsin(θ＋γ)，

所以在△BMN中，由余弦定理得

MN＝

＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).

【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时.

【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有OBOC＝tan∠OCB＝tan 60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan 75°，

因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有