2017學年八年級上冊數學期末試卷

為八年級數學期末考試的學生們制訂一份合適數學的考試卷，更有利於幫助他們的數學複習。以下是小編為你整理的2017學年八年級上冊數學期末試卷，希望對大家有幫助!

　　2017學年八年級上冊數學期末試題

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填在答題卡對應題目上.(注意：在試題捲上作答無效).

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的為(　　)

A. B. C. D.

2.已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為(　　)

A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3

3.已知 ，則 的值為(　　)

A. B. C. D.

4.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是(　　)

A.確定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不確定事件

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則cosB的值為(　　)

A. B. C. D.

6.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交於點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則 的值為(　　)

A. B. C. D.

7.已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個實數根，則m2+4m+n+2mn的值為(　　)

A.1 B.3 C.﹣5 D.﹣9

8.如圖1，在三角形紙片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有(　　)

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.請把答案直接填在答題卡對應題中橫線上.(注意：在試題捲上作答無效)

9.二次根式 有意義，則x的取值範圍是　　.

10.計算 的結果為　　.

11.將方程x2﹣4x﹣3=0配方成(x﹣h)2=k的形式為　　.

12.如圖，在△ABC中，G是重心.如果AG=6，那麼線段DG的長為　　.

13.為進一步發展基礎教育，自2014年以來，某區加大了教育經費的投入，2014年該區投入教育經費7000萬元，2016年投入教育經費8470萬元.設該區這兩年投入教育經費的年平均增長率為x，則可列方程為　　.

14.如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD於點E，NF⊥AB於點F.若ME=3，NM=NF=2，則AN 的長為　　.

15.如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y= x經過點A，作AB⊥x軸於點B，將△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到△CBD，若點B的座標為(2，0)，則點C的座標為　　.

16.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，DE⊥AC，垂足為點F，連線BF，下列四個結論：①△CEF∽△ACD;② =2;③sin∠CAD= ;④AB=BF.其中正確的結論有　　(寫出所有正確結論的序號).

三、解答題：本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)(1)計算： ﹣2sin60°+(1﹣ )0﹣|﹣ |.

(2)解方程：x2+6x﹣1=0.

18.(8分)若x= ﹣ ，y= + ，求x2y+xy2的值.

19.(8分)我市某校開展“經典誦讀”比賽活動，誦讀材料有《論語》，《三字經》，《弟子規》(分別用字母A、B、C依次表示這三個誦讀材料)，將A、B、C這三個字母分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上，把這3張卡片背面朝上洗勻後放在桌面上.小華和小敏參加誦讀比賽，比賽時小華先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的內容，放回後洗勻，再由小敏從中隨機抽取一張卡片，選手按各自抽取的卡片上的內容進行誦讀比賽.

(1)小華誦讀《弟子規》的概率是　　;

(2)請用列表法或畫樹狀圖法求小華和小敏誦讀兩個不同材料的概率.

20.(8分)如圖，某小區有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為多少米?

21.(8分)如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交於點E，點F在ED上，且∠CBF=∠D.

(1)求證：FB2=FE•FA;

(2)若BF=3，EF=2，求△ABE與△BEF的面積之比.

22.(8分)關於x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2+1=0.

(1)若方程有實數根，求實數m的取值範圍;

(2)設x1，x2分別是方程的兩個根，且滿足x12+x22=x1x2+10，求實數m的值.

23.(10分)如圖，已知斜坡AB長為80米，坡角(即∠BAC)為30°，BC⊥AC，現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行於水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.

(1)若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺DE的長;(結果保留根號)

(2)一座建築物GH距離A處36米遠(即AG為36米)，小明在D處測得建築物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點B、C、A、G、H在同一個平面內，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建築物GH的高度.(結果保留根號)

24.(12分)已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s;同時，點Q從點C出發，沿著CB方向勻速移動，速度為1cm/s;當△PNM停止平移時，點Q也停止移動，如圖②.設移動時間為t(s)(0

(1)當t為何值時，PQ∥AB?

(2)當t=3時，求△QMC的面積;

(3)是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.

　　2017學年八年級上冊數學期末試卷答案與解析

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填在答題卡對應題目上.(注意：在試題捲上作答無效).

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的為(　　)

A. B. C. D.

【考點】最簡二次根式.

【分析】根據各個選項中的式子，進行化簡，則不能化簡的選項中式子即為所求.

【解答】解： 是最簡二次根式，故選項A正確，

，故選項B錯誤，

，故選項C錯誤，

，故選項D錯誤，

故選A.

【點評】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是明確二次根式化簡的方法.

2.已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則m的值為(　　)

A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3

【考點】一元二次方程的解.

【分析】根據一元二次方程的解把x=1代入一元二次方程得到還有m的一次方程，然後解一次方程即可.

【解答】解：把x=1代入x2+mx+3=0得1+m+3=0，

解得m=﹣4.

故選B.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解.

3.已知 ，則 的值為(　　)

A. B. C. D.

【考點】比例的性質.

【分析】根據分比性質，可得答案.

【解答】解： ，則 = = ，

故選：D.

【點評】本題考查了比例的性質，利用分比性質是解題關鍵.

4.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是(　　)

A.確定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不確定事件

【考點】隨機事件.

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的型別即可.

【解答】解：“射擊運動員射擊一次，命中靶心”這個事件是隨機事件，屬於不確定事件，

故選：D.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則cosB的值為(　　)

A. B. C. D.

【考點】銳角三角函式的定義.

【分析】根據餘弦函式的定義即可求解.

【解答】解：cosB= = .

故選A.

【點評】本題考查了餘弦的定義，在直角三角形中，餘弦為鄰邊比斜邊.

6.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交於點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則 的值為(　　)

A. B. C. D.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】根據相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據相似三角形的性質定理得到答案.

【解答】解：∵DE∥AC，

∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，

∴ = ，

∵DE∥AC，

∴ = = ，

∴ = ，

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等於相似比的平方是解題的關鍵.

7.已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個實數根，則m2+4m+n+2mn的值為(　　)

A.1 B.3 C.﹣5 D.﹣9

【考點】根與係數的關係.

【分析】根據根與係數的關係以及一元二次方程的解即可得出m+n=﹣3、mn=﹣2、m2+3m=2，將其代入m2+4m+n+2mn中即可求出結論.

【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個實數根，

∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，

∴m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2﹣3﹣2×2=﹣5.

故選C.

【點評】本題考查了根與係數的關係以及一元二次方程的解，熟練掌握x1+x2=﹣ 、x1x2= 是解題的關鍵.

8.如圖1，在三角形紙片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有(　　)

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

【考點】相似三角形的判定.

【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似;

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似;

C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似;

D、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似.

故選B.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.

二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.請把答案直接填在答題卡對應題中橫線上.(注意：在試題捲上作答無效)

9.二次根式 有意義，則x的取值範圍是　x≥5　.

【考點】二次根式有意義的條件.

【分析】根據二次根式的意義，被開方數是非負數列出方程，解方程即可.

【解答】解：根據題意得：x﹣5≥0，

解得x≥5.

故答案為：x≥5.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

10.計算 的結果為　2 　.

【考點】二次根式的乘除法.

【分析】直接利用二次根式的乘法運演算法則求出答案.

【解答】解：原式= = =2 .

故答案為：2 .

【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關鍵.

11.將方程x2﹣4x﹣3=0配方成(x﹣h)2=k的形式為　(x﹣2)2=7　.

【考點】解一元二次方程-配方法.

【分析】移項後兩邊都加上一次項係數一半的平方可得.

【解答】解：∵x2﹣4x=3，

∴x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，

故答案為：(x﹣2)2=7.

【點評】本題主要考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解方程的基本步驟是解題的關鍵.

12.如圖，在△ABC中，G是重心.如果AG=6，那麼線段DG的長為　3　.

【考點】三角形的重心.

【分析】根據重心的性質三角形的重心到一頂點的距離等於到對邊中點距離的2倍，直接求得結果.

【解答】解：∵三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍，

∴DG= AG=3.

故答案為：3.

【點評】此題考查三角形重心問題，掌握三角形的重心的性質：三角形的重心到頂點的距離是其道對邊中點的距離的2倍.運用三角形的中位線定理即可證明此結論.

13.為進一步發展基礎教育，自2014年以來，某區加大了教育經費的投入，2014年該區投入教育經費7000萬元，2016年投入教育經費8470萬元.設該區這兩年投入教育經費的年平均增長率為x，則可列方程為　7000(1+x)2=8470　.

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【分析】增長率問題，一般用增長後的量=增長前的量×(1+增長率)，參照本題，如果教育經費的年平均增長率為x，根據2014年投入7000萬元，預計2016年投入8470萬元即可得出方程.

【解答】解：設教育經費的年平均增長率為x，

則2015的教育經費為：7000×(1+x)

2016的教育經費為：7000×(1+x)2.

那麼可得方程：7000(1+x)2=8470.

故答案為：7000(1+x)2=8470.

【點評】本題考查了一元二次方程的運用，解此類題一般是根據題意分別列出不同時間按增長率所得教育經費與預計投入的教育經費相等的方程.

14.如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD於點E，NF⊥AB於點F.若ME=3，NM=NF=2，則AN 的長為　4　.

【考點】菱形的性質.

【分析】根據菱形的對角線平分一組對角可得∠1=∠2，然後求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形對應邊成比例列出求解即可.

【解答】解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，

又∵ME⊥AD，NF⊥AB，

∴∠AEM=∠AFN=90°，

∴△AFN∽△AEM，

∴ = ，

即 = ，

解得AN=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了菱形的對角線平分一組對角的性質，相似三角形的判定與性質，關鍵在於得到△AFN和△AEM相似.

15.如圖，在平面直角座標系xOy中，直線y= x經過點A，作AB⊥x軸於點B，將△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到△CBD，若點B的座標為(2，0)，則點C的'座標為　(﹣1， )　.

【考點】座標與圖形變化-旋轉.

【分析】在RT△AOB中，求出AO的長，根據旋轉的性質可得AO=CD=4、OB=BD、△OBD是等邊三角形，進而可得RT△COE中∠COE=60°、CO=2，由三角函式可得OE、CE.

【解答】解：過點C作CE⊥x軸於點E，

∵OB=2，AB⊥x軸，點A在直線y= x上，

∴AB=2 ，OA= =4，

∴RT△ABO中，tan∠AOB= = ，

∴∠AOB=60°，

又∵△CBD是由△ABO繞點B逆時針旋轉60°得到，

∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4，

∴△OBD是等邊三角形，

∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°，

∴CO=CD﹣DO=2，

在RT△COE中，OE=CO•cos∠COE=2× =1，

CE=CO•sin∠COE=2× = ，

∴點C的座標為(﹣1， )，

故答案為：(﹣1， ).

【點評】本題主要考查在旋轉的情況下點的座標變化，熟知旋轉過程中圖形全等即對應邊相等、對應角相等、旋轉角都相等的應用是解題的切入點也是關鍵.

16.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，DE⊥AC，垂足為點F，連線BF，下列四個結論：①△CEF∽△ACD;② =2;③sin∠CAD= ;④AB=BF.其中正確的結論有　①②④　(寫出所有正確結論的序號).

【考點】相似三角形的判定與性質;矩形的性質;解直角三角形.

【分析】①正確.四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，於是△AEF∽△CAB.

②正確由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 = = .

③錯誤.設CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF= a，AD= = a，可得sinCAD= = = .

④正確.連線AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出A、B、E、F四點共圓，推出∠AFB=∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可證明.

【解答】解：過D作DM∥BE交AC於N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC於點F，

∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，

∴△CEF∽△ADC，故①正確;

∵AD∥BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴ = ，

∵CE= BC= AD，

∴ = =2，

∴AF=2CE，故②正確，

設CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF= a，AD= = a

∴sinCAD= = = ，故③錯誤.

連線AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，

∴A、B、E、F四點共圓，

∴∠AFB=∠AEB，

∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，

∴△ABE≌△CDE，

∴∠AEB=∠CED，

∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，

∴∠BAF=∠CED，

∴∠BAF=∠BFA，

∴BA=BF，故④正確.

故答案為①②④.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質、四點共圓等知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵，學會利用此時解決問題，屬於會考常考題型.

三、解答題：本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2016秋•宜賓期末)(1)計算： ﹣2sin60°+(1﹣ )0﹣|﹣ |.

(2)解方程：x2+6x﹣1=0.

【考點】解一元二次方程-公式法;實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函式值.

【分析】(1)根據零指數冪、負整數指數冪和特殊角的三角函式值進行計算;

(2)利用公式法解方程.

【解答】解：(1)原式=2 ﹣2× +1﹣

=2 ﹣ +1﹣

=1;

(2)△=62﹣4×1×(﹣1)=40，

x= =﹣3± ，

所以x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ .

【點評】本題考查瞭解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了實數的運算.

18.若x= ﹣ ，y= + ，求x2y+xy2的值.

【考點】二次根式的化簡求值.

【分析】利用二次根式的混合運演算法則求出x+y、xy，利用提公因式法把原式變形，代入計算即可.

【解答】解：∵x= ﹣ ，y= + ，

∴x+y=( ﹣ )+( + )=2 ，xy=( ﹣ )( + )=1，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=2 .

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的混合運演算法則、提公因式法的應用是解題的關鍵.

19.我市某校開展“經典誦讀”比賽活動，誦讀材料有《論語》，《三字經》，《弟子規》(分別用字母A、B、C依次表示這三個誦讀材料)，將A、B、C這三個字母分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上，把這3張卡片背面朝上洗勻後放在桌面上.小華和小敏參加誦讀比賽，比賽時小華先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的內容，放回後洗勻，再由小敏從中隨機抽取一張卡片，選手按各自抽取的卡片上的內容進行誦讀比賽.

(1)小華誦讀《弟子規》的概率是　 　;

(2)請用列表法或畫樹狀圖法求小華和小敏誦讀兩個不同材料的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】(1)直接根據概率公式求解;

(2)利用列表法展示所有9種等可能性結果，再找出小華和小敏誦讀兩個不同材料的結果數，然後根據概率公式求解.

【解答】解：(1)小華誦讀《弟子規》的概率= ;

故答案為 .

(2)列表得：

小華

小敏 A B C

A (A，A) (A，B) (A，C)

B (B，A) (B，B) (B，C)

C (C，A) (C，B) (C，C)

由表格可知，共有9種等可能性結果，其中小華和小敏誦讀兩個不同材料的結果有6種，

所以P(小華和小敏誦讀兩個不同材料)= .

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然後利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

20.如圖，某小區有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為多少米?

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】設人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為(30﹣3x)m，寬為(24﹣2x)m，根據矩形綠地的面積為480m2，即可列出關於x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，經檢驗後得出x=20不符合題意，此題得解.

【解答】解：設人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為(30﹣3x)m，寬為(24﹣2x)m，

由已知得：(30﹣3x)•(24﹣2x)=480，

整理得：x2﹣22x+40=0，

解得：x1=2，x2=20，

當x=20時，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，

不符合題意，

故人行通道的寬度為2米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據數量關係列出關於x的一元二次方程是解題的關鍵.

21.如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交於點E，點F在ED上，且∠CBF=∠D.

(1)求證：FB2=FE•FA;

(2)若BF=3，EF=2，求△ABE與△BEF的面積之比.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)要證明FB2=FE•FA，只要證明△FBE∽△FAB即可，根據題目中的條件可以找到兩個三角形相似的條件，本題得以解決;

(2)根據(1)中的結論可以得到AE的長，然後根據△ABE與△BEF如果底邊分別為AE和EF，則底邊上的高相等，面積之比就是AE和EF的比值.

【解答】(1)證明：∵AB∥CD，

∴∠A=∠D.

又∵∠CBF=∠D，

∴∠A=∠CBF，

∵∠BFE=∠AFB，

∴△FBE∽△FAB，

∴

∴FB2=FE•FA;

(2)∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2

∴32=2×(2+AE)

∴

∴ ，

∴△ABE與△BEF的面積之比為5：4.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

22.關於x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2+1=0.

(1)若方程有實數根，求實數m的取值範圍;

(2)設x1，x2分別是方程的兩個根，且滿足x12+x22=x1x2+10，求實數m的值.

【考點】根與係數的關係;根的判別式.

【分析】(1)若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關於m的不等式，求出m的取值範圍;

(2)利用根與係數的關係可以得到x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，再把x12+x22=x1x2+10利用完全平方公式變形為(x1+x2)2﹣3x1•x2=10，然後代入計算即可求解.

【解答】解：(1)由題意有△=(2m﹣1)2﹣4(m2+1)≥0，

解得m≤﹣ ，

所以實數m的取值範圍是m≤﹣ ;

(2)由根與係數的關係得：x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，

∵x12+x22=x1x2+10，

∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=x1x2+10，

∴(2m﹣1)2﹣3(m2+1)=10，

∴2m2+9m﹣5=0，

解得m1=6，m2=﹣2，

∵m≤﹣ ，

∴m=6捨去，

∴m=﹣2.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與係數關係，利用兩根關係得出的結果必須滿足△≥0的條件.

23.(10分)(2016秋•宜賓期末)如圖，已知斜坡AB長為80米，坡角(即∠BAC)為30°，BC⊥AC，現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行於水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.

(1)若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺DE的長;(結果保留根號)

(2)一座建築物GH距離A處36米遠(即AG為36米)，小明在D處測得建築物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點B、C、A、G、H在同一個平面內，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建築物GH的高度.(結果保留根號)

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題;解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【分析】(1)根據題意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，進而得出EF的長，即可得出答案;

(2)利用在Rt△DPA中，DP= AD，以及PA=AD•cos30°進而得出DM的長，利用HM=DM•tan30°得出即可.

【解答】解：(1)∵修建的斜坡BE的坡角為45°，

∴∠BEF=45°，

∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，

∴BF=EF= BD=20，DF= ，

∴DE=DF﹣EF=20 ﹣20，

∴平臺DE的長為(20 ﹣20)米;

(2)過點D作DP⊥AC，垂足為P.

在Rt△DPA中，DP= AD= ×40=20，PA=AD•cos30°=20 ，

在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20 +36.

在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=(20 +36)× =20+12 ，

則GH=HM+MG=20+12 +20=40+12 .

答：建築物GH高為(40+12 )米.

【點評】此題主要考查瞭解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題以及仰角俯角問題，根據圖形構建直角三角形，進而利用銳角三角函式得出是解題關鍵.

24.(12分)(2016秋•宜賓期末)已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s;同時，點Q從點C出發，沿著CB方向勻速移動，速度為1cm/s;當△PNM停止平移時，點Q也停止移動，如圖②.設移動時間為t(s)(0

(1)當t為何值時，PQ∥AB?

(2)當t=3時，求△QMC的面積;

(3)是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.

【考點】四邊形綜合題;一元二次方程的解;三角形的面積;相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)根據勾股定理求出AC，根據PQ∥AB，得出關於t的比例式，求解即可;

(2)過點P作PD⊥BC於D，根據△CPD∽△CBA，列出關於t的比例式，表示出PD的長，再根據S△QMC= QC•PD，進行計算即可;

(3)過點M作ME⊥BC的延長線於點E，根據△CPD∽△CBA，得出 ， ，再根據△PDQ∽△QEM，得到 ，即PD•EM=QE•DQ，進而得到方程 = ，求得 或t=0(捨去)，即可得出當 時，PQ⊥MQ.

【解答】解：(1)如圖所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

∴Rt△ABC中，AC=4，

若PQ∥AB，則有 ，

∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，

∴ ，

即20﹣9t+t2=t2，

解得 ，

當 時，PQ∥AB;

(2)如圖所示，過點P作PD⊥BC於點D，

∴∠PDC=∠A=90°，

∵∠PCD=∠BCA

∴△CPD∽△CBA，

∴ ，

當t=3時，CP=4﹣3=1，

∵BA=3，BC=5，

∴ ，

∴ ，

又∵CQ=3，PM∥BC，

∴ ;

(3)存在時刻 ，使PQ⊥MQ，

理由如下：如圖所示，過點M作ME⊥BC的延長線於點E，

∵△CPD∽△CBA，

∴ ，

∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，

∴ ，

∴ ， .

∵PQ⊥MQ，

∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，

∴△PDQ∽△QEM，

∴ ，即PD•EM=QE•DQ.

∵ ，

，

，

∴ = ，

即2t2﹣3t=0，

∴ 或t=0(捨去)，

∴當 時，PQ⊥MQ.

【點評】此題屬於四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、平行線的性質、三角形的面積計算的綜合應用，解決問題的關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造相似三角形.