关于圆数学思想方法题目

圆数学思想方法

一、分类讨论思想

例1 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.

分析：已知两圆相交，求两圆圆心距。

解：分两种情况：

(1)如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm.

圆心Ol，02在公共弦的异侧.

∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.

连O1A、 O2A，则 .

(cm).

(2)如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求

二、方程思想

例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延

长线于M，且 .

(1)在图中找出相等的线段(直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不写推理过程)：.

(2)连结AD，AF(请将图形补充完整)，若 ，求AC∶DF的值.

【分析】(1)利用垂径定理易知：CE=DE，而由 可知CAG.

AG=CG.

根据相似可求得 CGDG=AGGF，可得DG=FG.

(2) 先根据相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，设EG=x，则AG可用x表示，再用Rt△AEG建立x的方程，求出x，用△AGC∽△DGF得AC与DF的比.

解：(1)CE=DE，AG=CG，DG=FG.

(2)连接AC. ∵ ABCD，

EC=ED，AC=AD.

由相交弦定理，得 AEBE=CE2 .

CE=3. CD=AF=6.

又∵ GDF=GFD，

GD=GF.

设EG=x，则AG=6-(3-x)=3+x.

在Rt△AEG中，

【小结】本题是一道垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，切割线定理合为一体的综合题，第(1)问有开放性和探索性，第(2)问运用了方程思想，全面考查了对圆相关知识的认识.

三、代数思想

例3 如图所示，⊙O的直径ABCD，E为OD的中点，AE交⊙O于点G，CG交OB于点F.求证：OB=3OF.

【分析】 确定两条线段之间的倍数关系，一般采用寻找等分点的直接证法和借助中间量的间接证法.根据本题的已知条件，可依据三角形相似比的关系，借助系数k寻求OB、OF的关系.

证明：设半径OA=2k，则OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OC=OB=2k.

连结DG、BG.

四、运动的思想

例4 已知：如图，⊿ABC的外部有一动点P(不能在直线BC上)，分别连结PB、PC，试确定BPC与BAC的大小关系.

分析：BPC与BAC之间没有联系，要确定BPC与BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造⊿ABC的外接圆，问题就会迎刃而解.

解：如图弧BAC和弧BMC是包含圆周角等于BAC 的两段弧(BMC=BAC)，1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，2.当点P在弧BAC和弧BMC上时，BPC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，BAC.

证明：1.当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，如图1，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若点P在BC下侧的弓形BAC和弓形BMC外时，同法可证出BMC即2.当点P在弧BAC和弧BMC上时，如图2，根据同弧所对的圆周角相等，BPC=BAC(若点P在弧BMC上时，同法也可证得BPC=BMC=3.当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，如图3，延长BP交⊿ABC外接圆于点D，连结CD，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若点P在弓形BMC内且在⊿MBC外时，同法也可证出BMC即BAC).

五、割补思想

例5 如图，将半径为2cm的⊙O分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点O对称，EF、GH关于点O对称，连接PM，则图中阴影部分的面积是_____cm2(结果用表示).

解析：如图，根据对称性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的 ，应为： (cm2).

点评 把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形.

分类思想在圆中的应用

例1 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?

选题意图：考查两圆五种位置关系.

解：设大圆半径R=5x

∵两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，

∵两圆内切时圆心距等于6，5x-3x=6，x=3，

大圆半径R=15，小圆半径r=9，

当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，此时两圆外切;

当两圆圆心距d2=5时，有d2

当两圆圆心距d3=20时， 有R-r

例2 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.

选题意图：已知两圆相交，求两圆圆心距。

解：分两种情况：

(1)如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm.

圆心Ol，02在公共弦的异侧.

∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.

连O1A、 O2A，则 (cm).

(2)如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求

例3 已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DEAB垂足为E.

求证：

(1)CD=DE;

(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?

请证明你的结论.

选题意图：主要应用如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

这一结论解决的综合题

证明：(1)连结DF、AD，

∵AF为⊙O1的直径，FDAD，又DEAB，

DFE=EDA，

∵BC为⊙O1的切线，CDA=DFE，

CDA=EDA，

连结AC，∵AB为⊙O的直径，

ACBC，又AD公共，

Rt△EDA≌Rt△CDA，

CD=DE.

(2)当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立.证法同(1).

例4 如图，⊙O经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO交⊙O于点Q、D，交⊙O于点P，交EF于点C且EF=2 ，sinP= .

(1)求证：PE是⊙O的切线;

(2)求⊙O和⊙O的半径的长;

(3)点A在劣弧 上运动(与点Q、F不重合)，连结PA交 于点B，连结BC并延长交⊙O 于点G，设CG=x，PA=y.求y关于x的函数关系式.

选题意图：主要考查切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识的综合题。

证明：(1)连结OE，∵OP是⊙O的直径，

OEP=90，PE是⊙O的切线.

(2)设⊙O、⊙O的半径分别r、r.

∵⊙O与⊙O交于E、F，

EFOO，EC= EF= .

在Rt△EOC、Rt△POE中，OEC=OPE.

sinOEC= sinOPE= ，

sinOEC= ，即OC= r，

r2- r=15，得r=4.

在Rt△POE中，sinOPE= ，r=8.

(3)按题意画图，连结OA，∵OEP=90，CEOP，

PE2=PCPO.又∵PE是⊙O的切线，PE2=PBPA，PCPO=PBPA，

即 ，又∵CPO=APO，△CPB∽△APO， ，

BC=60/PA.由相交弦定理得BCCG=ECCF，BC=15/CG，

PA=4CG，即y=4x(

例5 两圆的半径分别是方程 的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆的位置关系是( )

(A)外离(B)外切 (C)内切(D)相交

解：∵方程 的两根分别为1和2，而两圆的圆心距是3，

两圆的半径之和等于圆心距，

(1)两圆外离 ;

(2)两圆外切 ;

(3)两圆相交 ;

(4)两圆内切 ;

(5)两圆内含 .

巧用整体思想求面积

化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

例1 如图1，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都为 ，则图中阴影部分的面积之和为( ).

A. B. C. D.

析解：图中阴影部分为三个扇形，所以只要求出扇形的面积即可。但求扇形的面积必须知道圆心角的度数，如何求出这三个扇形的`圆心角的度数呢?显然是比较困难的，因为这是一个普通的三角形。我们观察到三个圆的半径相同，于是考虑将三个圆心角拼在一起，这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了。三个扇形圆心角的度数之和为三个顶点处的三个周角的度数之和减去三角形的内角和，即 ，所以阴影部分的面积之和为： = ，

故选B.

例2 如图2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和为( ).

A. B. C. D.

析解：利用整体思想的方法，四个扇形的圆心角之和为四边形ABCD的内角之和，又因为四个圆的半径都是1，所以阴影部分的面积之和为： 故选B.

例3 有六个等圆拼成甲、乙、丙三种形状摆放，使相邻两圆均互相外切，如图3所示的圆心的连线(虚线)分别构成正六边形、平行四边形和正三角形，将圆心连线外侧的6个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为S、P、Q，则( ).

且P=Q D.S=P=Q

分析：要想比较各个图形中阴影部分的面积，由于若逐一计算，显然有些麻烦，但考虑将六个扇形的圆心角合为一个整体，则可以利用多边形内角和定理，分别求得六个圆心角之和，这样就可以通过扇形面积公式从整体上求解。

解：因为图甲是六边形，即六个圆心角之和为 =720图乙六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角，即 ;图丙中六个圆心角之和为三角形内角和加上三个半圆的圆心角，即： 。因此可见，这三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的，即阴影部分的面积为： .故外侧扇形面积S=P=Q，应选D.

由以上三道例题我可以明显地感悟到：数学思想方法是数学的灵魂。因此，我们在日常的数学学习中解题时要细心观察给出的图形,探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键,而扇形的面积应用在其中的作用是不可低估的。