湖南师大附中高二数学试题答案

必考Ⅱ部分(50分)

一、填空题

1．10【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，yP＝4，

则|xP|＝4，S△MPF＝2(1)|MP||xP|＝10.

二、选择题

2．B【解析】由选择支分析可考查函数y＝x(f（x）)的单调性，而f(x)0且f(x)0，则当x0时x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，

即函数x(f（x）)在(－，0)上单调递减，故选B.

三、解答题

3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)

列表如下：

所以：f(x)的递减区间有：(－，－1)，(1，＋)，递增区间是(－1，1)；

f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m

(2)由(1)知，当0

此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)

当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，

即当x[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)

综上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)

4．【解析】 (1)设函数(x)＝xln x－x＋1，则(x)＝ln x(1分)

则(x)在(0，1)上递减，在(1，＋)上递增，(3分)

(x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(1)＝1ln 1－1＋1＝0

故xln xx－1.(5分)

(2)f(x)＝ex－a(6分)

①a0时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，

所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)

②当a0时，函数f(x)在(－，ln a)上递减，在(ln a，＋)上递增，

函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)

ⅰ.当a＝1时，函数的'极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0

则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)

ⅱ.当01或A1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0

当01时，LN p a0，易知x－时，ex0，－ax－1＋，

故此时f(x)＋，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；

当a1时，2ln a0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1

考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，则g(x)＝2(x－1－ln x)，

再设h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0

故h(x)在(1，＋)递增，则h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，

所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上递增，则g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0

即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，

则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根．

故01或A1时函数f(x)都是恰有两个零点．

综上：当a(－，0]{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，

当a(0，1)(1，＋)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)

5．【解析】(1)当MNx轴时，MN的方程是x＝3(8)，

设M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m

由(OM)(ON)知|y1|＝3(8)，

即点3(8)在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)

(2)当lx轴时，由(1)知(OA)(OB)；

当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0

则1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)

＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,

＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则1＋2k2(2m2－8)，(7分)

x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋

＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(OA)(OB).

即椭圆的内含圆x2＋y2＝3(8)的任意切线l交椭圆于点A、B时总有(OA)(OB).(9分)

(2)当lx轴时，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)

当l不与x轴垂直时，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)

＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)

设t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]

则|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)

所以当t(1)＝2(1)即k＝2(2)时|AB|取最大值2，

当t(1)＝1即k＝0时|AB|取最小值3(6)，

(或用导数求函数f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值与最小值)

综上|AB|3(6).(14分)