重大突破思想方法常量变量学到数学

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数学思想方法的重大突破从常量数学到变量数学

文章摘要：17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。

【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。

17世纪对于数学发展具有重大意义的事件，除了解析几何开辟了几何代数化这一新的方向外，还有微积分的创立使常量数学过渡到变量数学。从常量数学到变量数学，是数学思想方法的又一次重大突破。

一、变量数学产生的历史背景

变量数学是相对常量数学而言的数学领域。常量数学的对象主要是固定不变的图形和数量，它包括算术、初等代数、初等几何和三角等分支学科。常量数学是描述静态事物的有力工具，可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的。因此，从常量数学发展到变量数学，就成为历史的必然了。

变量数学之所以产生于17世纪，是有其特定的历史背景的。

从自然科学的发展来看，变量数学是在回答16、17世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。我们知道，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工厂手工业向机器大生产的过渡，自然科学开始从神学的桎梏下解放出来，大踏步地前进。这时，社会生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型。

第一类问题是描述非匀速运动物体的轨迹。如行星绕日运动的轨迹、各种抛射物体的运动轨迹。

第二类问题是求变速运动物体的速度、加速度和路程。如已知变速运动物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度，或反过来由速度求路程。

第三类问题是求曲线在任一点的切线。如光线在曲面上的反射角问题，运动物体在其轨迹上任一点的运动方向问题。

第四类问题是求变量的极值。如斜抛物体的最大水平距离问题，行星绕日运动的近日点和远日点问题。

第五类问题是计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心以及大质量物体之间的引力等。

上述各类问题尽管内容和提法不同，但从思想方法上看，它们有一个共同的特征，就是要求研究变量及其相互关系。这是16、17世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，最终导致了变量数学的产生。

从数学的发展来看，变量数学的基础理论-微积分，早在微积分诞生之前的二千多年，就已经有了它的思想萌芽。

公元前5世纪，希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题，创立起数学的原子论。它的基本思想是：直线可分为若干小线段，小线段又可再分更小的线段，直至成为点而不可再分，故称点为直线的数学原子即不可分量。平面图形同样可以如此分下去，使得线段成为平面图形的数学原子。利用数学原子概念，德漠克利特求得锥体的体积等于等底等高圆柱的1/3.

公元前4世纪，希腊学者欧道克斯在前人工作的基础上，创立了求曲边形面积和曲面体体积的一般方法-穷竭法。运用此法，他成功地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”和“球体积与其直径的立方成比例”等命题。

微积分的早期先驱者主要是阿基米德，他继承和发展了穷竭法，并应用这一方法解决了诸如抛物线弓形等许多复杂的曲边形面积。继阿基米德之后，微积分的思想方法逐渐成熟起来，其中作出重大贡献的有开普勒、伽利略、卡瓦列利、华利斯、笛卡儿、费尔马和巴罗等人。巴罗甚至接触到了微积分的基本原理-微分和积分的互逆关系。

总之，变量数学的产生不仅有其特定的生产和自然科学背景，而且也是数学自身矛盾运动的必然结果。它是经过相当长时间的酝酿，在16、17世纪生产和自然科学需要的刺激下，经过许多人的努力而准备好由“潜”到“显”过渡的条件的。

二、变量数学的创始及其意义

变量数学由“潜”到“显”的过渡经历了两个具有决定性的重大步骤：一是解析几何的产生，二是微积分的创立。前者为变量数学的创始提供了直接的前提，后者是变量数学创始的主要标志。

微积分的主要创始人是牛顿和莱布尼茨。他们最大的功绩是明确地提出了微分法和积分法，并把两者有机结合起来，建立了微积分的基本原理（牛顿-莱布尼茨公式）。

牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中，这一天可做为微积分诞生的日子。他称连续的变量为“流动量”，用符号x、y、z等字母表示，称它们的导数为“流数”，用加小点的字母来表示，如x、y、z等，称微分为“瞬”。

莱布尼茨是从几何学的角度创立微积分的。他的微积分思想最先出现在1675年的手稿之中，他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分后来的发展有重大的影响。现今通用的符号dx、dy、∫等，就是莱布尼茨当年精心选择和创设的。

继牛顿和莱布尼茨之后，18世纪对微积分的创立和发展作出卓越贡献的有欧拉、伯努利家族、泰勒、马克劳林、达朗贝尔、拉格朗日等人。17、18世纪的数学，几乎让微积分占据了主导地位，绝大部分的数学家都被这一新兴的学科所吸引，可见微积分产生意义之重大。

变量数学创始的两个决定性步骤都是在17世纪完成的，因此17世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。变量数学的产生，是数学史乃至整个科学史的一件大事。它来自于生产技术、自然科学发展的需要以及数学自身的矛盾运动，又回过头来对生产技术、自然科学以及数学自身的发展产生巨大而深远的影响。

首先，变量数学的产生，为自然科学描述现实世界的各种运动和变化提供了有效的工具。我们知道，在现实世界中，“静”和“不变”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。“整个自然界，从最小的东西到最大的东西，从沙粒到太阳，从原生生物到人，都处于永恒的产生和消灭中，处于不断的流动中，处于无休止的运动和变化中。”可见，自然科学的对象是运动变化着的物质世界，变量数学的产生，为自然科学精确地描述物质世界的运动、变化规律提供了不可缺少的工具。变量数学对于现代生产技术、自然科学的发展，就像望远镜对于天文学、显微镜对于生物学的发展一样重要。假设没有变量数学，现代物质文明建设将是不可想象的事。

其次，变量数学的产生，带来了数学自身的巨大进步。变量数学是从常量数学发展的基础上出现的，它的产生又反过来深深影响了常量数学的发展，特别是常量数学的各个分支学科由于变量数学的渗透而在内容上得到极大的丰富，在思想方法上发生一连串深刻的变革，并由此产生出许多新的分支学科。解析数论和微分几何等分支学科，就是变量数学的思想方法向传统数论和传统几何渗透的产物。就变量数学本身而言，由于它在生产技术和自然科学中有着广泛的应用，所以它一产生出来就得到蓬勃而迅速的发展，并由此相继派生出许多新的分支学科，逐渐形成一个庞大的体系，如级数论、常微分方程论、偏微分方程论、差分学、复变函数论、实变函数论、积分方程、泛函分析等。总之，变量数学无论从内容、思想方法上，还是从应用的范围上，很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期以来一直规定和影响着近、现代数学发展的方向。

此外，变量数学的产生还有着深远的哲学意义。众所周知，变量数学的许多基本概念，诸如变量、函数、导数和微分，以及微分法和积分法，从哲学上看，不外是辩证法在数学中的运用，而且是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。正因为如此，革命导师马克思和恩格斯十分重视微积分概念和运算的历史演变，并对其进行了深刻而精辟的哲学分析。马克思在他的《数学手稿》中，运用唯物辩证法的基本观点，详细考察了微积分思想的历史演变过程，深刻揭示了微分概念和运算的辩证实质，还总结分析了不同学术观点的论争对于微分学发展的积极作用。恩格斯在他的《自然辩证法》一书中，阐述了微积分产生的重大意义，指出“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”他还针对微积分概念的“神秘性”，给出了微积分概念直观的现实原型，指出“自然界运用这些微分即分子时所使用的方式和所依据的规律，完全和数学运用其抽象的微分时的方式和规律相同。”由此可见，变量数学的产生使数学更加成为“辩证的辅助工具和表现方式”，又一次为辩证法的普适性从数学上提供了生动而有力的例证。

数学思想方法的重大突破从必然数学到或然数学

文章摘要：在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。…

在现实世界中存在着两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，另一类是或然现象。描述和研究必然现象的量及其关系的数学部分，称为必然数学；描述和研究或然现象的量及其关系的数学部分，称为或然数学。从必然数学到或然数学，是数学研究对象的一次显著扩张，也是数学思想方法的又一次重大突破。

一、或然数学的现实基础

或然数学的对象是或然现象。所谓或然现象，是指这样的一类现象：它在一定条件下可能会引起某种结果，也可能不引起这种结果。也就是说，在或然现象中，条件和结果之间不存在必然性的联系。例如，投掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面。

与或然现象不同，在必然现象中，只要条件具备，某种结果就一定会发生，即条件和结果之间存在着必然性联系。因此，对于必然现象，可由条件预知结果如何。这一点正是必然数学的现实基础。例如，当我们用微分方程来定量描述某些必然现象的运动和变化过程时，只要建立起相应的微分方程式，并给定问题的初始条件，就可以通过求解微分方程预知未来某时刻这种现象的状态。19世纪英国天文学家亚当斯借助微分方程预言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。

由于或然现象的条件和结果之间不存在必然性的联系，因此无法用必然数学来加以精确的定量描述。例如，投掷一枚质量均匀的硬币，要想预先准确计算出它一定会出现正面或一定会出现反面，是不可能的。但是，这并不意味着或然现象不存在着数量规律，也不意味着不能从量上来描述和研究或然现象的规律。

从表面上看，或然现象是杂乱无章的，无任何规律可谈，但如果仔细考察，就会发现当同类的或然现象大量重复出现时，它在总体上将会呈现出某种规律性。

例如，一个充有有量气体分子的容器，就单个分子而言，它的运动速度和方向带有明显的或然性，每个分子对器壁的压力大小也具有或然性，因而难以对“速度”、“压力”作以定量分析。然而，实践却表明，就全体分子对器壁的压力而言，器壁所受的总压力却是一个确定的值，即大量气体分子的运动在总体上呈现出一种规律性。同样，当多次重复地投掷一枚质量均匀的硬币时，将会发现出现正面的次数与总投掷次数之比总是在1/2左右摆，而且随着投掷次数的增加，这个比越来越接近1/2.

大量同类或然现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。这种统计规律性的存在，就是或然数学的现实基础。

统计规律性是基于大量或然现象而言的。这里的“大量”包含两层意思：其一是某一或然现象在相同的条件下多次甚至无限地重复出现，如多次投掷硬币，连续发射炮弹，连日观测气温等。其二是众多的同类或然现象同时发生，如容器内的气体分子，电子束中的电子，小麦的催芽试验等。

由于统计规律是一种宏观性的、总体性的规律，不同于单个事物或现象表现出那种“微观性”的规律，因此或然数学在研究方法上有其自身的特殊性。统计方法就是它的一种基本研究方法。统计方法的基本思想是：从一组样本分析、判断整个对象系统的性质和特征。统计方法的逻辑依据是“由局部到整体”、“由特殊到一般”，是归纳推理在数学上的一种具体应用。

二、或然数学的产生和发展

概率论是或然数学的一门基础理论，也是历史上最先出现的或然数学的分支学科。它的创立可作为或然数学产生的标志。

概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽至少可追溯到16世纪。在自然界和社会生活中存在着各种各类的或然现象，但最先引起数学家们注意的则是中的问题。16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，在所有可能方法中有多少种方法能得到某一预想的总点数。他的研究成果集中体现在他的《论》一书中。由于中的概率问题最为典型，因此，从这类问题着手研究或然现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题。

促使概率论产生的直接动力是社会保险事业的需要。17世纪资本主义工业与商业的兴起和发展，使社会保险事业应运而生。这就刺激了数学家们对概率问题研究的兴趣，因为保险公司需要计算各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾和死亡等。由于概率论的思想与方法在保险理论、人口统计、射击理论、财政预算、产品检验以及医学、物理学和天文学中有着广泛的应用，因此，它很快就成为许多数学家认真探讨的一个研究领域。作为数学的一个分支学科，它是经17世纪许多数学家之手创立起来的。其中作出突出贡献的有帕斯卡、费尔马、惠更斯和雅各·伯努利等人。

概率论的许多重要定理是在18世纪提出和建立起来的。例如，棣美佛在他的《机会的学问》一书中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心极限定理”的一种特殊情况。拉普拉斯提出了这一定理的一般情况，他撰写的两部著作《分析概率论》和《概率的哲学探讨》，具有重要的理论和应用价值。蒲丰在其《或然算术试验》一书中，提出了有名的“蒲丰问题”，对这一问题的研究，后来导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。高斯和泊松也对概率论作出了重要贡献，高斯奠定了最小二乘法和误差理论的基础，泊松提出了一种重要的概率分布—泊松分布。

从19世纪末开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得到迅速发展，并不断地派生出一系列新的分支理论。俄国的马尔科夫创立的马尔科夫过程论，在原子物理、理论物理、化学和公共事业等方面有着广泛的应用。此外，还有平稳随机过程论、随机微分方程论、多元分析、试验分析、概率逻辑、数理统计、统计物理学、统计生物学、统计医学等等。目前，或然数学已成为具有众多分支的庞大数学部门，它仍处在发展之中，它的理论和方法在科学技术、工农业生产、国防和国民经济各部门日益得到更加广泛的应用。

数学思想方法的重大突破从明晰数学到模糊数学

文章摘要：20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。…

20世纪60年代，随着现代科学技术的发展，数学领域又产生出了一支新秀-模糊数学。模糊数学无论在研究对象还是在思想方法上，都与已有的数学有着质的不同。它的产生不仅极大地拓展了数学的研究范围，而且带来了数学思想方法的一次重大突破。

一、模糊数学产生的背景

模糊数学是在特定的历史背景中产生的，它是数学适应现代科学技术需要的产物。

首先，现实世界中存在着大量模糊的量，对这类量的描述和研究需要一种新的数学工具。我们知道，现实世界中的量是多种多样的，如果按着界限是否分明，可把这无限多样的量分为两类：一类是明晰的，另一类是模糊的。实践表明，在自然界、生产、科学技术以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高压”、“低温”、“偏上”、“适度”、“附近”、“美丽”、“温和”、“老年”、“健康”等等。这些概念作为现实世界事物和现象的状态反映，在量上是没有明晰界限的。

模糊数学产生之前的数学，只能精确地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它们用于描述和研究模糊的量就失效了。对那些模糊的量，只有用一种“模糊”的方法去描述和处理，才能使结果符合实际。因此，随着社会实践的深化和科学技术的发展，对“模糊”数学方法进行研究也就成为十分必要的了。

其次，电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮。自本世纪40年代电子计算机问世以来，电子计算机在生产、科学技术各领域的应用日益广泛。电子计算机发展的一个重要方向是模拟人脑的思维，以便能处理生物系统、航天系统以及各种复杂的社会系统。而人脑本身就是一种极其复杂的系统。人脑中的思维活动之所以具有高度的灵活性，能够应付复杂多变的环境，一个重要原因是逻辑思维和非逻辑思维同时在起作用。一般说来，逻辑思维活动可用明晰数学来描述和刻画，而非逻辑思维活动却具有很大的模糊性，无法用明晰数学来描述和刻划。因此，以二值逻辑为理论基础的电子计算机，也就无法真实地模拟人脑的思维活动，自然也就不具备人脑处理复杂问题的能力。这对电子计算机特别是人工智能的发展，无疑是一个极大的障碍。为了把人的自然语言算法化并编入程序，让电子计算机能够描述和处理那些具有模糊量的事物，从而完成更为复杂的工作，就必须建立起一种能够描述和处理模糊的量及其关系的数学理论。这就是模糊数学产生的直接背景。

模糊数学的创立者是美国加利福尼亚大学的札德教授。为了改进和提高电子计算机的功能，他认真研究了传统数学的基础-集合论。他认为，要想从根本上解决电子计算机发展与数学工具局限性的矛盾，必须建立起一种新的集合理论。1965年，他发表了题为《模糊集合》的论文，由此开拓出了模糊数学这一新的数学领域。

二、模糊数学的理论基础

明晰数学的理论基础是普通集合论，模糊数学的理论基础则是模糊集合论。札德也正是从模糊集合论着手，建立起模糊数学的。

模糊集合论与普通集合论的根本区别，在于两者赖以存在的基本概念-集合的意义不同。普通集合论的基本概念是普通集合即明晰集合。对于这种集合，一个事物与它有着明确的隶属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者必居其一，不可模棱两可。如果用函数关系式表示，可写成

这里的A(u)称为集合A的特征函数。特征函数的逻辑基础是二值逻辑，它是对事物“非此即彼”状态的定量描述，但不能用于刻划某些事物在中介过渡时所呈现出的“亦此亦彼”性。例如，取A为老年人集合，u为一个年龄为50岁的人，我们拿不出什么令人信服的理由来确定A(u)的值是1还是0.这正是普通集合论的局限之所在。

与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。对于这种集合，一个事物与它没有“属于”或“不属于”这种绝对分明的隶属关系，因而也就不能用特征函数A(u)来描述。那么，怎样才能定量地描述模糊集合的性质和特征呢?模糊集合论的创立者札德给出了隶属函数的概念，用以代替普通集合论中的特征函数概念。隶属函数的实质，是将特征函数由二值{0，1｝推广到[0，1]闭区间上的任意值。通常把隶属函数表示为μ(u)，它满足

0≤μ(u)≤1（或记作μ(u)∈[0，1]）

有了隶属函数概念，就可给模糊集合下一个准确的定义了。札德在1965年的论文中给出了如下的定义：

隶属函数的选取是一个较为复杂的问题，目前还没有一个固定和通用的模式，它依问题的不同可以有不同的表达形式。在许多情况下，它是凭借经验或统计分析确定的。

例如，某小组有五名同学，记作u1，u2，u3，u4，u5，取论域.现在取为由“性格稳重”的同学组成的集合，显然这是一个模糊集合。为确定每个同学隶属于的程度，我们分别给每个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100.

这里实际上就是求隶属函数，如果打分的结果是

u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分

那么隶属函数的值应是

可表示为

还可表示为

或

普通集合与模糊集合有着内在的联系，这可由特征函数A(u)和隶属函数的关系来分析。事实上，当隶属函数只取[0,1]闭区间的两端点值0，1时，隶属函数也就退化为特征函数A(u)，从而模糊子集也就转化为普通集合A.这就表明普通集合是模糊集合的特殊情况，模糊集合是普通集合的推广，它们既相互区别，又相互联结，而且在一定条件下相互转化。正因为有此内在的联系，决定了模糊数学可以广泛地使用明晰数学的方法，从明晰数学到模糊数学存在着由此达彼的桥梁。

模糊数学作为一门新兴的数学学科，虽然它的历史很短，但由于它是在现代科学技术迫切需要下应运而生的，因而对于它的研究，无论是基础理论还是实际应用，都得到了迅速的发展。

就其基础理论而言，模糊数学研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊矩阵、模糊图、模糊映射和变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊识别和模糊控制等。

在应用方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理学、化学、生物学、医学、心理学、气象学、地质学、经济学、语言学、系统论、信息论、控制论和人工智能等。同时，在工农业生产的许多部门已取得明显的社会效益。

数学思想方法的重大突破从手工证明到机器证明

文章摘要：机器证明是20世纪50年代开始兴起的一个数学领域，也是现代人工智能发展的一个重要方向。从传统的手工证明到定理的机器证明，是现代数学思想方法的一次重大突破。

机器证明是20世纪50年代开始兴起的一个数学领域，也是现代人工智能发展的一个重要方向。从传统的手工证明到定理的机器证明，是现代数学思想方法的一次重大突破。

一、机器证明的必要性和可能性

定理机器证明的出现不是偶然的，而是有其客观必然性，它既是电子计算机和人工智能发展的产物，也是数学自身发展的需要。

首先，现代数学的发展迫切需要把数学家从繁难的逻辑推演中解放出来。我们知道，任何数学命题的确立都需要严格的逻辑证明，而数学命题的证明是一种极其复杂而又富有创造性的思维活动，它不仅需要根据已有知识和给定条件进行逻辑推理的能力，而且常常需要相当高的技巧、灵感和洞察力。有时为寻找一个定理的证明，还需要开拓一种全新的思路，而这种思路的形成竟要数学家们付出几十年、几百年乃至上千年的艰苦努力。如果把定理的证明交给计算机去完成，那就可以使数学家从冗长繁难的逻辑推演中解放出来，从而可以把精力和聪明才智更多地用于富有开创性的工作，诸如建立新的数学概念，提出新的数学猜想，构造新的数学命题，创造新的数学方法，开辟新的数学领域等等，由此提高数学创造的效率。

其次，机器证明的必要性，还表现在数学中存在着大量传统的单纯人脑支配手工操作的研究方法难以奏效的证明问题。这些问题往往因为证明步骤过于冗长，工作量十分巨大，使数学家在有生之年无法完成。电子计算机具有信息储存量大，信息加工及变换的速度快等优越性，这就突破了人脑生理机制的局限性与时空障碍。也就是说，如果借助电子计算机的优势就有可能使某些复杂繁难的证明问题得以解决。“四色猜想”的证明就是一个令人信服的范例。“四色猜想”提出于19世纪中叶，它的内容简单说来就是：对于平面或球面的任何地图，用四种颜色，就可使相邻的国家或地区区分开。沿着传统的手工式证明的道路，数学家们做了各种尝试，结果都未能奏效。直到1976年，由于借助于电子计算机才解决了这道百年难题。为证明它，高速电子计算机花费了120个机器小时，完成了300多亿个逻辑判断。如果这项工作由一个人用手工去完成，大约需要30万年。

第三，机器证明的可能性，从认识论上看，是由创造性工作和非创造性工作之间的关系决定的。我们知道，在定理的证明过程中，既有创造性思维活动，又有非创造性思维活动，而思维活动中的创造性工作和非创造性工作并不是完全割裂的，而是互为前提、相互制约、相互转化的，非创造性工作是创造性工作的基础，创造性工作又可以通过某种途径部分地转化为非创造性工作。当我们通过算法程序把定理证明中的创造性工作转化为非创造性工作之后，也就有可能把定理的证明交给计算机去完成。

第四，理论上的研究已经表明，的确有不少类型的定理证明可以机械化，可以放心地让计算机去完成。希尔伯特和塔尔斯基的机械化定理，就是对定理证明机械化可能性的一种理论探讨。吴文俊教授对几何定理证明机械化的可能性曾作过深入的研究。他将可施行机械化证明的实现划分为三种不同的类型，并给出了实现机器证明的一个行之有效的一般方法。这个一般化方法的基本思想是：首先借助坐标系，把定理的假设与求证部分用一些代数关系式来表示，然后再把表示代数关系的多项式做适当处理，即把终结多项式中的坐标逐个消去，当消去的结果为零时，定理也就得证。

目前，机器证明作为数学研究的一种方法，还存在着许多理论和技术上的问题，这些问题的解决将有待于算法理论、计算机科学和人工智能等各个领域出现新的重大突破。

二、机器证明的兴起和进展

机器证明的思想渊源可追溯到几何代数化思想的出现，然而历史上最先从理论上明确提出定理证明机械化思想的是希尔伯特。1899年，他在《几何基础》这部经典名著中指出，初等几何中只涉及从属平行的定理可以实现证明的机械化，他还提出了有名的“希尔伯特机械化定理”。希尔伯特的几何机械化思想遵循的就是一条几何代数化的道路：从公理系统出发，建立坐标系，引进数系统，把几何定理的证明转化为代数式的计算。这是一条从公理化走向代数化直至数值化的道路。1950年，波兰数理逻辑学家塔尔斯基进一步从理论上证明，初等代数和初等几何的定理可以机械化。他还提出了以他的名字命名的机械化定理以及制造证明机的设想。

机器证明史上的第一项奠基性的突破，是由美国的卡内基大学—兰德公司协作组做出的。1956年，这个协作组的西蒙、纽厄尔和肖乌等人在电子计算机上成功地证明了罗素和怀特海所著的《数学原理》第二章52条定理中的38条。这一年可作为历史上计算机证明定理的开端。1963年，他们又在计算机上证明了全部52条定理，西蒙等人使用的是LT（逻辑理论机）程序。这种程序不是刻板的固定算法程序，而是使用了心理学方法，将人脑在进行演绎推理时的逻辑过程、所遵循的一般规则和所经常采用的策略、技巧，以及简化步骤的一些方法等编进计算机程序，让计算机具有自己去探索解题途径的某种能力。这一程序为机器证明提供了一个切实可行的算法，通常称它为“启发式程序”。

在机器证明的开拓者中，还有著名的美籍华人王浩教授。1959年，他只用9分钟的机器时间，就在计算机上证明了罗素和怀特海《数学原理》一书中的一阶逻辑部分的全部定理350多条，在当时数学界引起了轰动。

改进算法程序是提高机器证明效率的一个重要方面。在这方面，美国数学家鲁滨逊首先取得了重大突破。1965年，他提出了有名的归结原理。这一原理的基本出发点是，要证明任何一个命题为真，都可以通过证明其否定为假来得到。它要求把问题用一阶逻辑表示出来，并且变为只具有永真式或永假式性质的公式。由于许多定理都可以在一阶逻辑中得到表示，因而这一程序具有较大的实用性，对提高机器证明的效率有着重要的方法论意义，大大地推动了机器证明的研究。

70年代，机器证明得到新的重大进展。1976年，美国数学家阿佩尔和黑肯借助计算机成功地解决“四色猜想”的证明问题。这是机器证明首次解决传统人脑支配手工操作所长期没能解决的重大问题。1971-1977年间，莱得索等人给出了分析拓朴学和集合论方面的一些著名定理的机器证明。1979年，波依尔和穆尔等人作出了递归函数方面的机器证明系统。

我国数学家在机器证明研究上取得了显著的成果，引起了国内外学术界的关注。1977年，吴文俊教授证明了初等几何主要一类定理的证明可以机械化。1980年，他还用一部微机在20和60个机器小时左右分别发现了两个几何学的新定理。吉林大学和武汉大学的研究人员也在定理的机器证明方面取得了许多可喜的成果。

上面我们考察和分析了数学史上发生的6次重大突破。除了这6次重大突破外，还有许多重大事件也都具有一定的突破性，它们都不同程度地带来了数学思想方法的重大变化。如非欧几何的发现，群论的产生，勒贝格积分的建立，突变理论的出现，非标准分析的诞生，就是这样的事件。现代科学技术革命的兴起，向数学提出了一系列新的重大课题，可以预想，对这些课题的探讨，必将会引起数学在思想方法上发生新的重大突破，使数学的面貌发生新的改观。

数学思想方法研究的对象与范围[1]

文章摘要：何谓数学思想方法?它的研究对象是什么?这是一个理论问题，至今看法不一。归纳起来主要有两种理解：第一种是“狭义的理解”，认为数学思想方法就是指数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段;第二种是“广义的理解”，认为数学思想方法除上述作为研究的对象外，还应把关于数学（其中包括概念、理…

【编者按】数学同其它各门学科一样，在其发展的过程中，形成了一系列适合于自身特点的思想方法。这些思想方法不断为人们所掌握和运用，并创造出一个又一个成果。过去对数学成果本身的收集、分析与说明较为重视，发表了许多论著，这是有益的。但是，由于种种原因，对数学思想方法的考察与研究却有所忽略。而正因为对数学思想方法缺乏应有的重视，所以，在一定程度上影响了数学成果的取得和数学人才的培养。因此，把数学思想方法作为一个独立领域加以研究，从方法论的高度，探讨其对象、内容、功能以及孕育、形成与发展的规律，无疑对数学的发展与哲学的研究，都是有重要意义的。

何谓数学思想方法?它的研究对象是什么?这是一个理论问题，至今看法不一。归纳起来主要有两种理解：第一种是“狭义的理解”，认为数学思想方法就是指数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段；第二种是“广义的理解”，认为数学思想方法除上述作为研究的对象外，还应把关于数学（其中包括概念、理论、方法与形态等）的对象、性质、特征、作用及其产生、发展规律的认识，也作为自己的研究对象。我们是主张广义理解的。

根据广义的理解，我们认为，数学思想方法的研究范围，大体有以下十个方面。

一、数学思想方法的历史演进

对数学思想方法作为历史的考察，并分析其演变、发展的规律是数学思想方法研究的首要内容。其具体可分为两大类：第一，数学思想方法的系统进化，即从整体上进行研究。比如，从古至今，数学思想方法发生了多少次重大转折，每一次转折如从算术到代数、从综合几何到几何代数化、从常量数学到变量数学、从必然数学到或然数学、从明晰数学到模糊数学以及从手工证明到机器证明等，都是怎样孕育和产生的，其要点和作用是什么，均属于这一类。第二，数学思想方法的个体发育，主要是研究每一个数学思想产生、演变和发展的规律，以及本身的特征，在数学发展中的作用和方法论价值等。广义一点讲，从思想方法角度来研究概念、运算、公式、定理乃至学科产生发展的历史，也可看成是此类研究的范围。

二、数学的思维方式与数学研究的基本方法

数学的主要思维方式是什么?这是数学家们历来关注的一个重要问题。本世纪初以来，围绕什么是数学的基础问题的讨论，逐步形成了三个不同的学派，即逻辑派，直党派与形式公理派。如果从思维方式上看数学基础问题的讨论，可以说，在逻辑主义学派看来，数学的主要思维方式是逻辑思维；在直觉主义学派看来，数学的主要思维方式是直觉（或灵感）思维；在形式主义学派看来，数学的主要思维方式是以符号为特征的纯粹的抽象思维。到底什么是数学的主要思维方式?辩证思维在数学尤其是高等数学中占有怎样的地位?仍是一些尚待解决的问题。

数学中的一些常用方法，诸如公理法、模型法、构造法、解析法、递归法、极限法、逐次逼近法、统计法、对偶法、关系映射反演法、数学归纳法、反证法等，这是大家所熟悉的。那么，数学中到底有哪些基本方法?每个方法又是怎样产生和发展的，其特征和作用如何?这是一些具有重要方法论价值且至今没有很好解决的研究课题。

三、数学家的思想方法

数学家是在数学研究中做出贡献的人，而数学家之所以取得成果做出贡献，又往往与他在思想方法上实行某种变革有关，因此，考察与剖析数学家特别是著名数学家的思想方法，是把握数学思想方法的重要方面，也是探讨数学创造规律，加强数学人才培养不可缺少的研究内容。众所周知，古今中外有许多著名数学家，如欧几里得、刘徽、祖冲之、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯、罗巴切夫斯基、伽罗华、康托尔、希尔伯特、彭加勒、维纳、冯·诺伊曼、鲁滨逊、札德、托姆、华罗庚等，不仅在数学研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有独到之处，甚至是实行了革命性的变革。遗憾的是，以往对他们的成果记载比较详尽，而对他们的思想方法却考究很少，这不能不说是过去数学史研究中的一大缺陷。通过对数学家思想方法的挖掘与评论，可以使人们树立起“作出成果是贡献，创造思想方法是更大贡献”的观念，并将其作为评价数学家的重要方面之一。

四、数学学派的思想方法

如果说某一数学家的思想方法较为隐蔽，难以考证，不易作出准确的分析，那么数学学派却不然，因为它本身往往就是通过某一特殊的思想方法把大家联系在一起的，或者说，是因为思想方法不同而划分成不同派的，因而，它的思想方法是较为明显，容易作出判断的。比如，前面提到的本世纪初以来形成的逻辑派、直觉派与形式公理派，其思想方法十分鲜明。本世纪30年代，在法国出现的布尔巴基学派，其思想方法也是非常明确的。他们认为，数学是以数学结构作为研究对象的科学，主张用数学结构（代数结构、序结构和拓扑结构）概括全部数学，所谓数学的理论发展，无非是各种结构的建成、改进与扩充而已。一句话，他们的数学思想方法就是数学结构主义。在数学结构主义指导下，经30多年的努力，到1973年共出版《数学原本》36卷，为数学发展作出了巨大贡献。不仅如此，他们治学的思想方法，也有许多独到之处，像学术讨论上的“无情批判”，组织成员上的“自由流动”，撰写论著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得认真总结。当然，要完整、准确地概括某一学派的思想方法的实质、特点、历史与作用，也是相当困难的。

五、数学的潜形态及其向显形态转化的机制

所谓“数学潜形态”有两个含义：第一，从科学认识角度看，任何数学成果都有一个由孕育到成熟、由潜到显的过程，存在一个孕育阶段，我们就把孕育阶段的数学思想称之为“数学潜形态”，如数学问题、数学猜想、数学悖论等；第二，从数学发展的曲折性看，它指的是“处于待显阶段的数学成果”，因为一个数学成果取得后，并非都立即得到数学界的承认，而由于种种原因，往往被忽视、排斥、压制、埋没、抛弃、扼杀，有一个蒙难的历程，我们就把虽然在认识上已达到显阶段，但并没有被人们确认的，仍然处于“潜在阶段”的数学成果，也叫做“数学潜形态”。这里，主要是研究数学潜形态的产生、演变、特征、作用及其向数学显形态的转化机制等。

六、数学与其它学科相互渗透的思想方法基础

各门学科相互渗透、彼此结合，是当代科学发展的强大潮流。数学也不例外。现代自然科学各学科的数学化趋势，社会科学各部门的定量化要求，与数学相结合而形成的，生命力颇强的交叉科学如数学哲学、数学经济学、数学社会学、数学心理学、数学语言学、数学美学、数学生物学、数学地震学、计算物理学、计算化学等大量出现，都显示出数学与各学科相互渗透、汇流的这一当代数学发展特点。数学思想方法作为一个独立的研究领域，它必然要研究数学与各门学科相互渗透的思想方法基础。比如，上述交叉科学形成机制中所表现出来的纵向渗透、横向移植与立体交叉等，实际上都是一些重要的现代科学思想方法，也是辩证法关于普遍联系思想在当代科学发展中的具体体现。此外，交叉科学的类型，体系结构、特征、功能以及发展趋势等，也是与数学思想方法有关的一些问题，同样应予以讨论。

七、数学学科的特点

数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。这是关于数学学科特点的传统看法。近些年来，随着数学的发展与人们认识的深化，对数学学科特点又提出一些新的见解。比如，有人指出数学的基本特点是确切性、抽象性、严格性、应用的广泛性、数学美，还特别强调，数学美是数学诸特点中不可忽视的基本特点之一，人类进入以物质装置代替原来由人从事的信息加工处理工作的信息时代（或称信息加工时代、计算机化时代）后，数学的上述诸特点进一步显示出来。也有人认为，从当前科学数学化的趋势看，高度的抽象性与广泛的适用性是数学最根本的两个特点。还有人主张，数学的主要特点是它的高度抽象性、严谨逻辑性与数学美，而应用的广泛性是高度抽象性和严谨逻辑性的具体表现。数学作为一门基础科学到底有哪些特点?结合现代科学发展的实际对这一问题加以深入探讨，显然对充分发挥数学的功能，促进数学的发展是有积极作用的。

八、数学内容的辩证性质

数学作为现实世界量侧面的反映，必然充满矛盾，充满辩证法。深入研究数学内容的辩证性质，对把握数学的本质，加速数学发展的进程，是大有益处的。马克思在他的《数学手稿》中，恩格斯在《自然辩证法》数学札记中，从不同角度揭示了某些数学内容的辩证性质及其产生发展的历史过程。

从马克思、恩格斯的论述以及其他著作中，我们可以看到，数学辩证性质的研究，主要集中在两个方面：第一，关于数学中矛盾的研究。诸如，数学中有哪些重要矛盾?有的举出正与负、一与多、直与曲、已知与未知、常量与变量、特殊与一般、连续与离散、有限与无限、精确与近似、模糊与明晰等是数学中的重要矛盾，是否妥当?这些矛盾是怎样形成的?如何认识与运用?在数学研究中有什么作用?数学中的主要矛盾是什么?等等。第二，关于数学内容（概念、理论、方法等）的辩证分析。其中包括：(1)内容本身辩证实质的分析，如“一”中包含着多，数学证明中的“分析法”实质上是从未知出发来寻求已知与未知内在联系的方法等；(2)内容形成、演进过程的`辩证分析，如“数”、“形”和“函数”等数学基本概念，都是怎样通过数学认识的矛盾运动，从最初的实际问题中逐步发展成为今天这样的科学概念?并从中探讨辩证思维与数学概念发展的关系；(3)内容之间的普遍联系，如许多几何形体概念通过从属关系联系起来，不少几何变换通过合成关系联系起来等。

九、数学理论产生发展的动力及其规律性

关于数学理论产生发展的源泉、动力和规律，一方面可以从数学与社会（社会体制、社会意识、社会文化等）、实践（生产实践、科学实践等）的关系上进行研究，就是说，可从数学的客观基础上来考察。另一方面，又可从数学内部矛盾运动这个侧面，从思想方法作用这个角度去分析与探讨。像数学发展相对独立性的研究即属此类。我们知道，当数学发展到一定阶段，特别是已积累大量资料，并需概括出新理论时，就会产生一些理论上的矛盾，解决这些矛盾便形成新的数学理论，从而导致数学理论自身的相对独立的发展。比如，公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得等人，系统地总结了人类长期以来积累的几何知识，写出了世界上第一部公理化的数学专著《几何原本》，从而创立了欧氏几何学体系。但是，自这部专著问世时起，人们就提出了作为推理前提的“‘第五公设’可证”这样一个理论自身的问题，并从此开始了试证欧氏第五公设的漫长征程。直到19世纪20年代，才由德国的高斯、俄国的罗巴切夫斯基、匈牙利的亚·鲍耶从理论上证明了“欧氏第五公设不可证”，最后解决了人们为之奋斗两千年也没有解决的这一重大难题。正是在解决这一问题的过程中，创立了崭新的非欧几何学。还比如，19世纪30年代，由柯西与魏尔斯特拉斯建立了“标准分析”。但这一理论存在着过于抽象、缺乏直观、运算复杂等问题与矛盾，于是在本世纪60年代鲁滨逊打破了“点无结构”的传统观念，引进了非标准实数概念，建立了单子结构模型，将潜无穷小转化为实无穷小，将实数域发展为包含无穷小量的非实数域，将极限方法改变为无穷小量方法，将复杂运算替换为简单运算，并从而创立了非标准分析这一新分支。考察非欧几何学和非标准分析创生的历史过程，并探讨这些理论是怎样从数学理论自身矛盾运动中产生和发展起来的，无疑对全面认识数学发展规律是十分必要的。

数学理论的“储备性”，也是数学发展相对独立性的一种体现。所谓“储备性”指的是，当某一理论依据逻辑自身的规律由量的关系相互导出后，一时甚至相当长的时间内得不到应用，被暂时“储备”起来。比如，公元前200年，希腊几何家阿波罗尼乌斯创立的“圆锥曲线论”，直到17世纪，才在抛物线和天体运动理论的研究中得到应用，储备了1800年。还比如，1860年初创立的作为纯数学组成部分的矩阵理论，直到1925年才作为描述原子系统中矩阵力学的基本数学工具而得到应用，储备了65年。

此外，数学研究的自由创造性、数学理论体系结构的稳定性等，亦都是从数学理论自身的矛盾运动中反映出来的。

十、数学的功能

数学的功能是多方面的，但主要表现在三个方面：

(1)科学功能，即数学在自然科学、社会科学和哲学等领域中所起的作用；

(2)思维功能，即数学作为一种思维工具，它在日常思维活动中所起的作用，以及它对思维科学发展的意义等；

(3)社会功能，即数学在社会生产、经济、文化、教育以及在精神文明建设中占有的地位与作用等。数学为什么会有上述功能?怎样才能更好地发挥它的功能?这些问题在科学技术高度发展的今天，显得特别重要。

数学思想方法研究的历史与现状[1]

文章摘要：数学思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列进展。然而，长期以来，由于人们过于注重记述数学研究的事实与最终成果本身，而忽视总结、交流和刊发取得成果的真实经过及其思想方法，因此数学思想方法的研究十分分散，缺乏系统性，发展缓慢，至今尚未形成一个独立的研究领域和完整的理论体系。…

数学思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列进展。然而，长期以来，由于人们过于注重记述数学研究的事实与最终成果本身，而忽视总结、交流和刊发取得成果的真实经过及其思想方法，因此数学思想方法的研究十分分散，缺乏系统性，发展缓慢，至今尚未形成一个独立的研究领域和完整的理论体系。

回顾数学思想方法研究的历史，考察其现状，对深入开展这方面的研究，是大有益处的。根据我们掌握的资料，数学思想方法的研究，大体可以分为三个阶段：

一、第一阶段（18世纪末以前）：提出了许多零散的、个别的、具体的方法，以及解决数学中的实际问题

自古代到18世纪，数学研究基本上处于分散状态，各个分支、部门很少联系，因此数学思想方法的提出往往是零散的、个别的、具体的和解决实际问题的。下面的事例可以说明这一点。古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公理方法，以解决将大量的、零散的几何知识系统化问题，最后由欧几里得等人完成并发表了《几何原本》。中国古代数学家刘徽提出了“割圆术”，以解决长期存在的、圆周率计算不精确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论证中存在的不严密的问题。法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合的思想方法。英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法，以解决微积分理论建设中存在的问题。瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变分法，以解决“等周问题”、“最速降线问题”等长期解决不了的极大与极小问题等。

二、第二阶段（18世纪末到20世纪初）：创立了一批具有突破性的思想方法，使数学某些分支发生了革命性的变革

18世纪末以前，人们提出和发现了许多有实际意义的数学思想方法，有力地推动了数学的发展。但是，与18世纪末到20世纪初这一时期相比，无论是从产生的难度上看，还是从产生后所表现出来的作用上看，都显得一般和不够突出。事实上，自18世纪末到20世纪初这一时期，在数学领域中的确出现了一些具有划时代意义的思想方法，并导致了数学基础学科的变革。这是这一时期的显著特点。

在几何学中，出现了创立非欧几何的一系列思想方法。19世纪20年代，高斯、罗巴切夫斯基与亚·鲍耶等人，成功地运用了研究错误与失败、逆向与反常规思维、想象等思想方法，解决了人们奋斗两千年而未能解决的试证欧氏第五公设的问题，并从而创立了非欧几何理论，使几何学发生了一次伟大的革命。希尔伯特提出：19世纪最有启发性最重要的数学成就是非欧几何的发展。

在代数学中，出现了群论的思想方法。19世纪以来，人们在探求五次和五次以上代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来毫无进展的僵局，首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次方程代数解法的不可能性。其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了“群”的概念，后发展为一整套群论的思想方法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解问题。不仅如此，群论的思想方法，在代数学的其他分支，拓扑学、函数论乃至数学以外的许多领域都得到了广泛的应用。由于群论的诞生，使传统代数学所研究的对象由具体的“数”扩充为更加抽象的“量”，由量之间的代数运算关系发展为更为一般的关系，从而使代数这门学科发生了转折性的变化。

在数学分析中，出现了极限与集合论的思想方法。19世纪30年代至50年代，法国的柯西与德国的魏尔斯特拉斯等人，在给出函数、极限等概念以精确化描述的基础上，又通过严格化了的极限思想方法与实数理论改造了微积分，并使其严密化和标准化。这是微积分学科发展史上的一个重要里程碑。1874年，德国数学家康托尔提出了集合论思想，建立起无限集的势、序型等概念以及无限集合论和超限数理论，证明了代数集合可以和整数集合一一对应，所有实数集合不可数性，发展了无限集合势的比较原理，引入了连续公理即康托尔公理等，并从而创立了集合论的理论。这一理论的创立，不仅为微积分的理论奠定了稳固的基础，而且对整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，也具有巨大而深远的促进作用。

应当指出的是，这一时期，除了出现上述重要思想方法外，还形成了影响广泛的数学公理化方法。到了19世纪末20世纪初，由于非欧几何、无理数理论、集合论的建立，有力地促进了数学公理化方法研究的开展。1872年，德国数学家克莱因发表了“爱尔兰根纲领”，提出用变换群的观点，给出各种几何学的综合分类，以统一整个几何学。1899年，德国数学家希尔伯特发表了《几何学基础》一书，使公理化方法深入到数学的更多分支。1908年，集合论完成了公理化，本世纪20年代，又实现了代数学的公理化，从而使公理化方法应用于数学各个分支。这场公理化运动，对数学的影响是前所未有的。

还应当特别指出的是，在这一时期，马克思和恩格斯在自己的著作尤其是《数学手稿》和《自然辩证法》中，阐发了极其丰富的数学思想，从思想方法角度论述了数学发展史上若干重大成果和著名数学家。他们的论述是数学思想方法研究的珍贵财富。但遗憾的是，这些论述未能在当时发表和发挥其应有的作用。

三、第三阶段（20世纪初以来）：逐步开展对数学思想方法理论的研究，为形成其独立的研究领域奠定了基础

20世纪初以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化方法的形成以及数学基础论和数学统一研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间内在联系的研究，开始注重数学思想方法本身产生、发展规律的探讨。因此，这一时期，数学家们一方面继续创造各种数学思想方法，并用来推进数学的发展，另一方面，他们中的一部分特别是一些著名数学家集中精力从事数学思想方法理论的研究，并发表了一大批这方面的论著。与前面两个时期相比，后一方面是这一时期的突出特点。

这一时期发表的关于数学思想方法方面的理论著作，数量是很多的，研究问题的角度也是不尽相同和多方面的，但大体上可概括为以下六个方面。

第一，从数学思想方法本身内容与应用的角度研究。

就数学思想方法本身最早系统发表见解的要算德国著名数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家代表会上的演讲《数学问题》。在这篇演讲中，他精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用，并列举了发人深思的23个重大数学问题，后人称之为“希尔伯特23个问题”。他的演讲是一篇重要的数学方法论著作。法国数学家彭加勒于1903年至1908年之间发表了《科学与假设》，《科学之价值》、《科学与方法》等著作（均有中译本）。在这三部著作中，彭加勒以章节的篇幅讨论了数学方法论的问题。后来，德国数学家赫尔德发表了《数学方法论》一书，书中对数学中的演绎方法、归纳方法、公理方法与假设方法等进行了系统的论述。

近些年来，我国数学家徐利治十分注重数学方法论的研究。他陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论选讲》和《数学抽象度概念与抽象度分析法》等论著，并提出许多独到见解，引起了国内外数学界与哲学界的关注。解恩泽与赵树智同志合作编著的《数学思想方法纵横论》，从纵横两个方面分析了数学思想方法的形成与发展，其中既阐述了数学本身的思想与方法，又探讨了人们对数学本质与规律的认识;既论述了若干数学家的思想方法，又评介了伟大哲学家马克思与恩格斯的数学思想方法。

此外，还发表了一系列论文，对一些具体数学方法作了分析，诸如，苏联沙柳京的《控制论的算法与可能性》，日本加茂利男的《系统论与社会认识的方法》，中国黄顺基等的《论公理方法》和王顺义的《希尔伯特的现代公理化方法》等。

第二，从历史发展的角度研究。

本世纪以来，从历史演变、发展的角度研究数学思想方法的论著是不少的，但影响较大的主要有两部著作。其一是苏联A·B·亚历山大洛夫等第一流数学家于1956年发表的著作《数学-它的内容、方法和意义》（本书分三卷，均有中译本）。书中一方面从总体上概括了数学的历史演进，另一方面又着重就现代数学每一个分支的历史、内容、方法与意义等进行了阐述，与以往的数学史著作相比，它比较重视数学思想方法的分析和评价。其二是美国著名数学家M·克莱因于1972年发表的著作《古今数学思想》。这是一部全面论述近代数学各分支历史发展的著作。这部著作打破了过去史书中单纯记述史料及人物传记的框子，着重阐述了数学思想方法的古往今来。无论是一个数学成果的产生，还是一个数学学科的形成，或是一个数学家的功绩，都把着眼点放在“思想方法”上面，这是这部著作的突出特点。它是一部大部头的数学思想史专著，原书有51章1238页，内容十分丰富，见解精辟独到。国外有的专家认为，“就数学史而论，这是迄今为止最好的一本”。我们认为，本书好就好在“思想方法”的挖掘与分析上面。当然，也有不足，如对我国数学成果及其思想就没有给予应有的重视。

此外，像日本的细井淙于1953年发表的《东西方数学思想史》、伊东俊太郎于1967年发表的《纯粹数学的起源-欧几里得〈几何原本〉的形成》、三宅刚一于1968年发表的《数学哲学思想史》等，也都是从历史的角度来研究数学思想方法的论著。

第三，从数学教育与数学能力培养的角度研究。

多年来的实践表明，数学思想方法是数学教育的重要内容，也是培养数学能力和建设数学队伍的关键所在。一些著名的数学家尤其是长期从事教育的数学家，注重这方面的研究，积累了丰富的经验，撰写了深受欢迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名数学家教育家、斯坦福大学教授G·波利亚发表了《数学与猜想》一书。波利亚在自己的教育实践中认识到，数学中的发现常常是从估计、猜想开始的，而这些估计、猜想经过实践检验，再经过严格论证推理，最后获得定理、公式等结论。但是，在一般数学教科书中，只注意写经过严格论证的结论，而不写这些结论产生的过程。本书根据上述认识和针对过去数学教科书存在的这一弊端，为了充分发挥数学教育功能，提高数学教育特别是中学数学教育水平，列举了数学史上的大量事例，集中地分析了数学成果的思想渊源，揭示论证推理与合情推理的内在联系，阐明既要重视论证推理的运用，更要重视合情推理的学习，以丰富人们的数学思想，提高数学思维能力。本书内容翔实，形式新颖，语言生动，思想深刻。出版后，引起了世界数学界的重视，特别是此书作为作者已发表的《怎样解题》、《数学的发现》的续篇，得到了著名数学家的高度评价。这本书在美国深受欢迎和推崇，曾译成多种文字出版发行，被誉为第二次世界大战后出版的经典著作之一。我国科学出版社于1984年分两卷将其翻译出版。

1969年，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》。以数学中一些富有启发性的实例为依据，系统地论述了贯穿于整个数学的数学精神，一些重要数学思想与若干有效的数学方法。它是把着眼点放在培养人们数学能力和创造精神的一本理论专著，其特点是以数学教育为背景，从思想方法入手，结合史实深入探讨数学认识与数学发展的规律。作者写该书的目的有二：一是为了弥补过去的不足，他说：“我认为，现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学的精神、数学的思想和数学的方法的著作”。二是因为数学、思想和方法是数学创造和发展的源泉，是数学教育目的的集中表现，正如他在本书“序”中所指出的：科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不够的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必需的；数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想与方法却永远发挥作用，可以受益终生，是数学能力之所在，是数学教育根本目的之所在。书中总结和概括出：

(1)贯穿整个数学中的七个数学精神：①应用化的精神；②扩张化、一般化的精神；③组织化、系统化的精神；④致力于发明、发现的精神；⑤统一建设的精神；⑥严密化的精神；⑦思想经济化的精神。

(2)十个数学思想：①“数学的本质在于思考充分自由”的思想；②极限的思想；③构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想；④集合与群的思想；⑤把有限长看作无限长的思想；⑥把曲线看作直线的思想；⑦使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想；⑧二维空间、四维空间、高维空间的思想；⑨超限数的思想；⑩数学的神秘性与数学美的思想。

(3)数学中常用的两类方法：①证明方法；②研究方法。

日本历来重视从思想方法入手研究数学教育及其历史。比如，日本数学史家小仓金之助于1957年发表的《数学教育史》和1974年发表的《数学教育的历史》；赤摄也于1967年发表的《现代数学的思想与数学教育的现代化》；植竹桓男于1975年发表的《数学史与数学教育》等，都是把数学思想方法研究与数学教育紧密结合在一起的论著。

第四，从哲学的角度研究。

从哲学角度来研究数学思想方法，可以说是最为多见的。有的哲学家对此有兴趣，不少数学家对此也很热心。马克思的《数学手稿》是一部哲学著作，但由于它主要是阐述辩证思维方法在数学中的运用，以及数学思想的历史演进，所以它又是一部研究数学思想方法方面的著作。前面讲过，此手稿是马克思于19世纪50年代末到1883年期间写作的，但当时未能发表。直到1933年，苏联的雅诺夫斯卡娅，才将此手稿的部分内容译成俄文第一次公开发表。同年，日本将其译成日文出版。我国于1975年出版了中文译本。恩格斯《自然辩证法》的数学札记，也是从哲学的角度研究数学思想方法的。后来，又出现了许多研究马克思和恩格斯这两部著作的论著，从内容看，大部分也是属于从哲学上研究数学思想方法的。

本世纪70年代以来，现代西方哲学家十分重视数学思想方法的研究，并发表了一些论著。比如，英国数学哲学家拉卡托斯的《证明及反驳》、美国哲学家普特南的《数学、物质与方法》等。这两部著作都从哲学上系统地讨论了所谓“拟经验方法”。近年来，我国也出版了从哲学上探讨数学思想方法的著作，比如，刘凤璞等编写的《数学若干辩证内容简析》，对数学客观基础、数学概念的若干辩证性质、数学运算的对立统一，19世纪以来数学的某些进展及其特征等，进行了较为系统的论述。又比如，傅士侠主编的《科学前沿的哲学探索》，对现代数学的新分支：模糊数学、突变理论与非标准分析等进行了哲学分析，得到自然辩证法界的好评。

关于数学基础论的研究，吸引着许多数学家的注意力，并取得了不少研究成果。诸如，1956年，日本的竹内外史发表了《数学基础论》，1971年，日本的岛内纲一发表了《数学的基础》；1987年，我国的朱梧槚发表了《几何基础与数学基础》等。

不仅如此，还发表了一系列从哲学上研究数学思想方法的论文，比如，日本永井博的《数学的实在性-数理哲学的一个问题》，前原昭二的《数学的哲学》；苏联马里尼切夫的《“数学的”唯心论批判》，比留科夫的《控制论的哲学问题》，内桑巴耶夫的《数学发展中抽象与具体的统一》；我国黄耀枢的《数学基础研究的历史与现状》，郑毓信的《数学直觉浅析》、王顺义的《数学是拟经验的-拉卡托斯数学哲学述评》，王前的《试论现代数学中的经验主义思潮》，林夏水的《数学基础的若干哲学问题》等。

第五，从数学存在形态的角度研究。

从数学存在形态如潜在形态来研究数学思想方法，是我国最先开始的。1979年，我国学者开创了“潜科学”这一新的研究领域，从科学潜在形态的角度探讨科学新思想孕育、产生与发展的规律，颇受学术界的欢迎。关于数学潜在形态的研究，目前虽然还没有专门的系统著作，但在《潜科学杂志》上陆续发表了一些有关文章。在潜科学丛书，如朱新民主编的《科学史上重大争论集》、解恩泽主编的《科学蒙难集》、洪定国主编的《科学前沿中的疑难与展望》、李醒民等主编的《思想领域中最高的音乐神韵-科学发现个例研究》，以及解恩泽主编的《潜科学导论》等著作中，均有关于数学潜在形态问题的讨论。在由解恩泽与赵树智合作编著的《数学思想方法纵横论》、徐本顺与解恩泽合写的《数学猜想-它的思想与方法》和《关于数学猜想的几个问题》中，则对数学的某些潜在形态进行了专门的探讨，为形成系统的数学潜在形态的理论作了一些有益的工作。

第六，从人物评传的角度研究。

从人物评传的角度研究数学思想方法，是数学界历来关注的一个重要问题，也是一个十分有效的途径。从出版的著作看，除了在一些数学家传记如《数学人物》、《女数学家传》、《祖冲之》、《希尔伯特》、《伽罗华传》、《华罗庚传》等著作中零散地介绍一些各自的思想方法外，还有一些集中论述著名数学家思想方法的著作，比如，德国数学家梅什克夫斯基于1961年发表的《大数学家的思维方式》一书，就专门分析和介绍了毕达哥拉斯、阿基米德、库萨的尼古拉、帕斯卡、莱布尼茨、高斯、伽罗华、布尔、魏尔斯特拉斯、康托尔和希尔伯特等著名数学家的思想方法特点。还比如，日本数学史家小堀宪于1968年发表的《大数学家》一书，也选出高斯、柯西、阿贝尔、伽罗华、魏尔斯特拉斯和黎曼等六位大数学家，一方面介绍生平，另一方面分析他们的思想方法。再比如，我国的解延年、尹斌庸著的《数学家传》一书，不仅介绍了61名中外数学家的生平经历、“冠军”记录和光辉业绩，而且十分注重阐发他们的思想方法和哲学观点，是一部很有特色的数学家传记。

数学思想方法，虽然至今尚未形成一个完整的理论体系，但本世纪以来特别是50年代以来，越来越引起人们的关注，并已经取得了一系列重要的研究成果。随着现代科学的发展和人们认识的深化，数学思想方法定会吸引更多的人们去关心它、探讨它和发展它，并使它逐步成为一个具有完整理论体系的、独立的研究领域。

数学思想方法研究的意义

文章摘要：从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法研究的意义缺乏应有的认识，那么，研究数学思想方法到底有何意义呢?…

从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法研究的意义缺乏应有的认识，那么，研究数学思想方法到底有何意义呢?

一、有利于培养数学能力与改革数学教育

我们知道，数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养。事实上，我们说一个人数学能力强，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要是说他运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。伽罗华之所以创立群论，罗巴切夫斯基之所以创立非欧几何，维纳之所以创立控制论，不仅仅在于数学知识的积累与记忆，而主要是由于他们在数学思想方法上实行了革命性的变革所致。对一个科技工作者来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是数学能力的集中体现。在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加之传统的考试制度，所以出现了“高分低能”的现象。要想改变这种状况，就要狠抓数学思想方法的研究与教学，并把它作为数学教育改革的重要内容，坚持下去，取得成效。

二、有利于充分发挥数学的功能

数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正的认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态。马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢?我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。为什么往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平呢?其根据也在这里。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域与部门做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思想和非凡的运用数学解决实际问题的才能。这也是他之所以能成为数学史上著名应用数学大师的根本原因所在。

三、有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律

在数学思想方法的研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨。他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学-其中最重要的部分是微积分-本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。事实上，微积分中所运用的思想方法，实质上就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿-莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿-莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此，我们可以说，牛顿-莱布厄茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。

关于通过数学思想方法的研究，可更加全面把握数学规律的问题，前面已经讲过，它可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识，另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明：对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径;树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的规律，显然具有启示意义和参考价值。

总之，数学思想方法的研究，具有十分重要而深远的意义。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。

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