浅谈数学中的逻辑方法之归纳与推理

归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。

思维是人对事物的一般性与规律性的一种间接的、概括的反映过程，又是一个复杂而高级的心理过程。按是否可程式化，思维可分为逻辑思维与非逻辑思维两种基本类型。数学从它产生的年代起，数学与逻辑就是不可分的。逻辑思维方法是数学中最常用与最基本的思维方法。所谓逻辑推理就是指根据已知的判断，遵守逻辑规律与法则，推出新的判断的思维过程。

归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。

归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。

一、完全归纳法

完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。

1.穷举归纳法

穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一属性（作出特称判断），从而得到这类事物都有这一属性的一般结论（全称判断）的归纳推理。

在数学中所考察的对象大多数是无穷多的，穷举这种方法很多情况下不适用。然而，对于有些无限多的对象，如果可将其分为有限的几个类来分别研究，这就是类分法。

2.类分法

所谓分类，用集合语言可定义如下：

在中学数学里有许多需要用到完全归纳法证明的问题。在证明时，先对研究的对象按前提中可能存在的一切情况作如上所述的分类，再按类分别进行证明。如每类均得证，则全称判断（结论）就得到了，此即为类分法。如正弦定理中边与对角正弦的比等于外接圆直径的性质，其证明就是分锐角、直角、钝角三类情况进行的。如果完全归纳法的每一类（个）前提都是真的，那么结论一定是真的，所以，它是一种严格的推理方法。在数学中可以用来进行证明。

二、不完全归纳法

在数学中运用完全归纳法往往会遇到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不能进行有限的`分类，从而不能使用穷举法;而且穷举那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件轻而易举的事，所以人们往往只根据部分对象具有某种属性作出概括。这种根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。

从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材料的时期，从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的然而又是基本的工作。高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经严格数学推导，设法给予证明的。还有更多由不完全归纳法得到的猜想，初步揭示了素数的分布规律，但至今未得到证明。所以数学家十分重视不完全归纳法的作用。中学教材里从具体数的演算概括出运算律，用的就是不完全归纳法。在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。

1.枚举归纳法

枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。

2.因果关系归纳法

因果规律的特点，在前后相继的一些现象中，通过某些现象的相关变化，归纳出现象间的因果联系。这种方法叫做因果关系归纳法。大体可分为以下五类。

(1)求同法：从不同场合中找出相同元素，即发现各种条件中只有一个因素是普遍存在的，那么A就是a的原因。

(2)差异法：从两种场合之差异找出因果联系。

(3)求同差异共同法：探讨求同法与差异法二者结合寻找因果联系。

(4)共变法：从某一现象变化引起的另一现象变化中，找出两现象之间的因果联系。

(5)剩余法：在一组复杂现象中，把已知因果联系的现象减去，探求其他现象的原因。

五种方法中，最基本的是1与2，它们都是发现因果联系的方法。

不完全归纳法的客观基础是个性和共性的对立统一，个性中包含着共性，通过个性可以认识共性；个性中有些现象反映本质，有些则不反映本质，有些属性为全体所共有，有些属性则只存在于部分对象中，这就决定了从个性中概括出来的结论不一定是事物的共性，也不一定抓住了事物的本质。不完全归纳法的客观基础决定了这种推理的逻辑特点：它虽然是一种扩大知识、发现真理的方法，但往往是一种不严密的、或然性的推理。用不完全归纳法提出的结论，仅仅是一种预测性的设想，它的正确与否，还要经过严格证明或举反例来判定。