数学空间向量及其运算方法

空间向量及其运算

●考试目标 主词填空

1.空间向量基本定理及应用

空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.

2.向量的直角坐标运算：

设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).

则a+b= .

a-b= .

ab= .

若a、b为两非零向量，则a⊥b ab=0 =0.

●题型示例 点津归纳

【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=

∠AOC,且OA=OB=OC.，N分别是OA，BC的中点，G是

N的中点.

求证：OG⊥BC.

【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.

而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.

【规范解答】 连ON由线段中点公式得：

又 ,

所以 )

因为 .

且 ，∠AOB=∠AOC.

所以 =0,即OG⊥BC.

【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.

【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.

【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

【规范解答】 因为 ,

所以

因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图

所以 =0,

=-a2.

所以 =-a2.

又

所以〈 〉=120°.

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．

【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示.

【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分

别是BB1、DC的中点.

(1)求AE与D1F所成的角；

(2)证明AE⊥平面A1D1F.

【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，

=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,

则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，

所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).

所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.

所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°．

(2)又 =(1,0,0)= ，

且 =(1,0,0)(0,1, )=0.

所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.

所以AE⊥平面A1D1F.

【解后归纳】本题考查应用空间向量的'坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.

【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).

【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,

∴EG ,同理HF ，∴EG HF .

从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,

GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.

只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O

为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图

∴ CD,QH CD,

∴= =0.

∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.

【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.

●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( )

A. B.

C. D.

2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )

A. B.

C. D.

3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )?

A.a B.b ? C. c D.2a?

4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )?

A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?

5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )?

A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定

6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b( )

A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对

7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )?

A.1 B.2 C.3 D.4

8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的值为( )

A.0 B. C. D.8

9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )?

A.0B.6 C.-6 D.±6

10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，则a+b对应的点为( )

A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)

11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为( )

cos B. C. D.90°

12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则 是a与b同向或反向的( )

A.充分不必要条 B.必要非充分条?

C.充要条 D.不充分不必要条

二、思维激活

13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.则ab+bc+ca= .?

14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 .

15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 .

16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .

三、能力提高

17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.

18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：

(1) 的夹角的大小.

(2)直线A1E与FC所夹角的大小.

19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.

20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量及其运算习题解答

1.C 由向量共线定义知.?

2.C 设此向量为(x,y),∴ ，?∴

3.C

4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.

5. B 当a⊥b时，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?

6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.

7.C AB= =3.?

8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?

∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=

9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.

10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).

11.C cos(ab)= =- .

12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立.

13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?

∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.

14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 .

15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.

16.9 S=absin〈a, b〉求得.

17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.?

过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，

〈 〉＝１２０°，

∴CD2=

＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.

∴CD＝

点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.

18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)

、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).

由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).

(1)令 的夹角为θ，?

则cosθ＝ .

∴ 的夹角为π-arccos .

(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos

19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k，

以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，

则 ＝（－１，0，０）， ＝(0, ,-1)，?

＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.

又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，

∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.

∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.

点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.

20.证明：∵

=2

∴A1,B1,C1,D1四点共面.