导数几何意义

（一）复习引入

1、函数的平均变化率：

已知函数 ， 是其定义域内不同的两点，

记

则 函数 在区间 的平均变化率

为

2、曲线的割线AB的斜率：

由此可知：曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。

3、函数在一点处的导数定义：

函数 在点 处的导数就是函数 在点 的瞬时变化率：记作：

　　（二）讲授新课

1、创设情境：

问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线？

学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线

教师提问：能否将它推广为一般的`曲线的切线定义？

教师引导学生举出反例如下：

教师举反例如下：

因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。

引例：（看大屏幕）

2、曲线在一点处的切线定义：

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD,

这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。

教师导语：我们如何确定切线的方程？由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。

那如何求切线的斜率呢？

引例：（看大屏幕）：

3、导数的几何意义：

曲线 在点 的切线的斜率等于

注：点 是曲线上的点

　　（三）例题精讲

例1、求抛物线 过点（1，1）的切线方程。

解：因为

所以抛物线 过点（1，1）的切线的斜率为2

由直线方程的点斜式，得切线方程为

练习题:求双曲线 过点（2， ）的切线方程。

答案提示：

例2、求抛物线 过点（ ，6）的切线方程。

由于点（ ，6）不在抛物线上，可设该切线过抛物线上的点（ ， ）

因为

所以该切线的斜率为 ，

又因为此切线过点（ ，6）和点（ ， ）

所以

因此过切点（2，4），（3，9 ）切线方程分别为： 即

　　（四）小结:

利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳）

①求出函数 在点 处的导数

②得切线方程

注：点 是曲线上的点

　　（五）板书：

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