球面几何与欧式几何的比较

球面几何与欧式几何的比较 要说到几何，大多数人便会想到运用并流传了几千年的欧式几何，这是毋庸置疑的。欧式几何在我们的生活中运用太广泛了。从我们开始接触几何问题，和我们生活中所接触到的一些几何问题大部分都是欧式几何。欧式几何是几何学的一门分科，又称欧几里德几何。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。欧式几何共有五条公理，其中前四个都是可以通过各种方法来证明的，并被众人接受。唯有公理5使许多人不能被理解所接受。于是由此问题，我们又有了一个巨大的发现，也是人类历史上的重大转变。那就是非欧几何的出现。欧式几何所能解决的只限于平面，从而伟大的第五公理就这样在非欧几何中得证。

球面几何

球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。在平面几何中，基本的观念是点和线。在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。例如：球面三角形的内角和大于180度。

对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。 球面 几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两

通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的'一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德整理成系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征。

球面上的几何与欧氏几何的共同特征

两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。

首先分析一下球面三角形的面积公式

把这个公式改写成

这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。 在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。 在球面上的几何中角超大于零。

不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说：

当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。

因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。