淺談數學中的邏輯方法之歸納與推理

歸納推理是通過各種手段（觀察、實驗、分析、比較等）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，邏輯推匯出各現象之間的因果關係，並逐步過渡到普遍化的一般法則的推理方法。

思維是人對事物的一般性與規律性的一種間接的、概括的反映過程，又是一個複雜而高階的心理過程。按是否可程式化，思維可分為邏輯思維與非邏輯思維兩種基本型別。數學從它產生的年代起，數學與邏輯就是不可分的。邏輯思維方法是數學中最常用與最基本的思維方法。所謂邏輯推理就是指根據已知的判斷，遵守邏輯規律與法則，推出新的判斷的思維過程。

歸納推理是通過各種手段（觀察、實驗、分析、比較等）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，邏輯推匯出各現象之間的因果關係，並逐步過渡到普遍化的一般法則的推理方法。

歸納推理可按照它考查的物件是否完全而分為完全歸納法和不完全歸納法。

一、完全歸納法

完全歸納法是根據某類事物的全體物件的屬性進行概括的推理方法。在數學中它可分為窮舉歸納法與類分法兩種。

1.窮舉歸納法

窮舉歸納法是數學中常用的一種完全歸納法。它是對具有有限個物件的某類事物進行研究時，把它所有的物件的屬性分別討論，當肯定了它們都有某一屬性（作出特稱判斷），從而得到這類事物都有這一屬性的一般結論（全稱判斷）的歸納推理。

在數學中所考察的物件大多數是無窮多的，窮舉這種方法很多情況下不適用。然而，對於有些無限多的物件，如果可將其分為有限的幾個類來分別研究，這就是類分法。

2.類分法

所謂分類，用集合語言可定義如下：

在中學數學裡有許多需要用到完全歸納法證明的問題。在證明時，先對研究的物件按前提中可能存在的一切情況作如上所述的分類，再按類分別進行證明。如每類均得證，則全稱判斷（結論）就得到了，此即為類分法。如正弦定理中邊與對角正弦的比等於外接圓直徑的性質，其證明就是分銳角、直角、鈍角三類情況進行的。如果完全歸納法的每一類（個）前提都是真的，那麼結論一定是真的，所以，它是一種嚴格的推理方法。在數學中可以用來進行證明。

二、不完全歸納法

在數學中運用完全歸納法往往會遇到困難，這不僅是因為在我們所考察的事物中，有些含有無限多個物件而又不能進行有限的`分類，從而不能使用窮舉法;而且窮舉那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件輕而易舉的事，所以人們往往只根據部分物件具有某種屬性作出概括。這種根據考察的一類事物的部分物件具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結論的推理方法稱為不完全歸納法。

從數學發展史可以清楚地看到，無論是一個新的數學分支的產生，還是具體給出一個概念的定義，都經歷過一個積累經驗材料的時期，從大量觀察、實驗得來的材料發現其規律，總結出數學定理或原理，這是數學工作中最初步的然而又是基本的工作。高斯說過他的許多發現都是靠歸納法取得的。不完全歸納法雖然不能作為嚴密的論證方法，但是它能使我們迅速發現一些數量關係的規律，為我們提供研究方向。素數分佈論中許多著名定理，如素數定理、貝特朗定理、狄裡克雷定理等，都是先用不完全歸納法從經驗概括出來成為猜想，然後再經嚴格數學推導，設法給予證明的。還有更多由不完全歸納法得到的猜想，初步揭示了素數的分佈規律，但至今未得到證明。所以數學家十分重視不完全歸納法的作用。中學教材裡從具體數的演算概括出運算律，用的就是不完全歸納法。在數學中，不完全歸納法又可分為列舉歸納法與因果關係歸納法。

1.列舉歸納法

列舉歸納法是先找幾個特殊物件進行試驗，然後歸納出共性特徵，最後提出一種比較合理的猜想的推想方法。它的步驟可概括為“試驗——歸納——猜想”，至於要考察多少個特殊物件，那要看具體情況。

2.因果關係歸納法

因果規律的特點，在前後相繼的一些現象中，通過某些現象的相關變化，歸納出現象間的因果聯絡。這種方法叫做因果關係歸納法。大體可分為以下五類。

(1)求同法：從不同場合中找出相同元素，即發現各種條件中只有一個因素是普遍存在的，那麼A就是a的原因。

(2)差異法：從兩種場合之差異找出因果聯絡。

(3)求同差異共同法：探討求同法與差異法二者結合尋找因果聯絡。

(4)共變法：從某一現象變化引起的另一現象變化中，找出兩現象之間的因果聯絡。

(5)剩餘法：在一組複雜現象中，把已知因果聯絡的現象減去，探求其他現象的原因。

五種方法中，最基本的是1與2，它們都是發現因果聯絡的方法。

不完全歸納法的客觀基礎是個性和共性的對立統一，個性中包含著共性，通過個性可以認識共性；個性中有些現象反映本質，有些則不反映本質，有些屬性為全體所共有，有些屬性則只存在於部分物件中，這就決定了從個性中概括出來的結論不一定是事物的共性，也不一定抓住了事物的本質。不完全歸納法的客觀基礎決定了這種推理的邏輯特點：它雖然是一種擴大知識、發現真理的方法，但往往是一種不嚴密的、或然性的推理。用不完全歸納法提出的結論，僅僅是一種預測性的設想，它的正確與否，還要經過嚴格證明或舉反例來判定。