函數單調性説課

一、教學內容的分析和教材定位

1．教材的地位和作用

（1）中學生對於函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在國中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高二利用導數為工具研究函數的單調性。高一單調性的學習，既是國中學習的延續和深化，又為高二的學習奠定基礎．

（2） 函數的單調性是學生學習函數概念後學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念。函數的單調性與函數的奇偶性、週期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對於這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程。因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據。

（3）函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。

2．教學的重點和難點

對於函數的單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：

首先，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，把對單調性直觀感性的認識上升到理性的高度， 這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來説比較困難。

其次，單調性的證明是學生在函數學習中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的。

根據以上的分析和教學大綱對單調性的教學要求，本節課的教學重點是函數單調性的概念，判斷、證明函數的單調性；難點是引導學生歸納並抽象出函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性。

二、教學目標

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

三、教學方法和手段

1．教學方法

本節課是函數單調性的起始課，根據教學內容、教學目標和學生的認知水平，主要採取教師啟發講授，學生探究學習的教學方法。教學過程中，根據教材提供的線索，安排適當的教學情境，讓學生展示相應的數學思維過程，使學生有機會經歷數學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養能力。

2．教學手段

教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學．目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助於學生對問題的理解和認識

四，教學過程

（一）創設情境，引入課題

1。教師畫幾個增減和波動的圖象。

2。讓學生大體根據自己的身高隨年齡的增長列一表格，然後畫一簡圖。提出問題

圖象的變化趨勢，怎樣用數學符號表示和不等式表示。

（二）歸納探索，形成概念

1．藉助圖象，直觀感知

本環節的教學主要是從學生的已有認知出發，即從學生熟悉的常見函數的圖象和事例直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識。

在本環節的教學中，我主要設計了兩個問題：

問題1：分別作出函數的圖象，並且觀察自變量變化時，函數值有什麼變化規律？

在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然後讓學生明確，對於自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數。

而後兩個函數圖象的上升與下降要分段説明，通過實例明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

對於概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2。

問題2：能否根據自己的理解説説什麼是增函數、減函數？

教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數的定義：

如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們説函數在該區間上為增函數．

然後讓學生類比描述減函數的定義。至此，學生對函數單調性就有了一個直觀、描述性的認識．

2．探究規律，理性認識

在此環節中，我設計了兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式，使學生對單調性的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識．

問題1：右圖是函數的圖象，能説出這個函數分別在哪個區間為增函數和減函數嗎？

對於問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究，使學生體會到用數量大小關係嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式。

問題2：如何從解析式的角度説明在上為增函數？

在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調性概念的關鍵。在教學中，我組織學生先分組探究，然後全班交流，相互補充，並及時對學生的發言進行反饋，評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識。

對於問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

（1）在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為，所以在上為增函數．

（2）仿（1），取很多組驗證均滿足，所以在上為增函數．

對於這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析。引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉。在充分討論的基礎上，引導學生從給定的區間內任意取兩個自變量，然後求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答：

任意取，有，即，所以在為增函數．

這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：（1）兩自變量的取值具有任意性；（2）求差比較它們函數值的大小。事實上，這種回答也給出了證明單調性的方法，為後續用定義證明其他函數的單調性做好鋪墊，降低難度。至此，學生對函數單調性有了理性的認識。

3．抽象思維，形成概念

本環節在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程，完成對概念的`第三次認識。

教學中，我引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，並讓學生類比得到減函數的定義。然後我指導學生認真閲讀教材中有關單調性的概念，對定義中關鍵的地方進行強

（三）掌握證法，適當延展

本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握根據單調性定義證明函數單調性的方法，同時引導學生探究定義的等價形式，對證明方法做適當延展。

例 證明函數在上是增函數．

在引入導數後，用定義證明單調性的作用已經有所降低，我選擇一個較難的例子，主要是考慮讓學生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認識。

證明過程的教學分為三個環節：難點突破、詳細板書、歸納步驟。

1．難點突破

對於函數單調性的證明，由於前邊有對函數在上為增函數的研究作鋪墊， 大部分學生能完成取值和求差兩個步驟：

證明：因此學生的難點主要是兩個函數值求差後的變形方向以及變形的程度。問題主要集中在兩個方面：一方面部分學生不知道如何變形，不敢動筆；另一方面部分學生在變形不徹底，理由不充分的情形下就下結論。

針對這兩方面的問題，教學中，我組織學生討論，引導學生回顧函數在上為增函數的説明過程，明確變形的主要思路是因式分解。然後我引導學生從已有的認知出發，考慮分組分解法，即把形式相同的項分在一起，變形後容易找到公因式，提取後即可考慮判斷符號。

2．詳細板書

在上面分析的基礎上，我對證明過程進行規範、完整的板書，引導學生注意證明過程的規範性和嚴謹性，幫助學生養成良好的學習習慣。

3．歸納步驟

在板書的基礎上，我引導學生歸納利用定義證明函數單調性的方法和步驟（設元，求差，變形，斷號，定論）。通過對證明過程的分析，使學生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學生掌握方法，提高學生的推理論證能力．

為了鞏固用定義證明函數單調性的方法，強化解題步驟，形成並提高解題能力，設計適當課堂練習。

（四）歸納小結，提高認識

本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋，組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規律，深化對數學思想方法的認識，為後續學習打好基礎．

1．學習小結

在知識層面上，引導學生回顧函數單調性定義的探究過程，使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。

在方法層面上，首先引導學生回顧判斷，證明函數單調性的方法和步驟；然後引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等，重點強調用符號語言來刻畫圖形語言，用定量分析來解釋定性結果；同時對學習過程作必要的反思，為後續的學習做好鋪墊。

2．佈置作業

在佈置書面作業的同時，為了尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需要，設計了探究作業供學有餘力的同學課後完成。