综合法与分析法证明不等式

综合法是一种推理方式，那它是怎么来证明不等式的呢?下面就是学习啦小编给大家整理的综合法证明不等式内容，希望大家喜欢。

　　综合法r如何证明不等式

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根号ab>=3，

故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)

已知a，b，c为正实数，用综合法证明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

证明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的两边相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.证完

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化为

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值范围是(-∞，4]。

综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。 综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证 ，我们从 ，得 ，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“ ”来代替.

综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法——分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。 实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。

　　综合法与分析法

一.比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号(范围)确定a与b大小关系的方法，即通过

来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。但要注意作差法适用范围较广;作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

二.分析法和综合

这两个方法我们一般会一起使用，分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的`问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知

如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目，当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

三.反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1) 假定命题的结论不成立;

2) 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;

3) 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4) 肯定原来命题的结论是正确的。

　　不等式知识点归纳

不等式知识点一、大学联考数学中不等式考试要点

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。大学联考数学中不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

(1)理解不等式的性质及其证明。

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

(4)掌握简单不等式的解法。

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

大学联考数学不等式知识点二、大学联考数学中不等式证明方法

1、大学联考数学不等式证明方法之比较法

包括比差和比商两种方法。

2、大学联考数学不等式证明方法之综合法

证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。

3、大学联考数学不等式证明方法之分析法

证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

4、大学联考数学不等式证明方法之放缩法

证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

5、大学联考数学不等式证明方法之数学归纳法

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6、大学联考数学不等式证明方法之反证法

证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

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