数学课题认识抽样调查教学设计

设计思想：本节需两课时来讲授；教师首先从具体实例中入手，引入总体、个体等相关概念，在从解决实际问题的过程中学会普查与抽样调查这两种调查方式。在学习本节过程中，让学生体会通过样本了解总体的思想方法。

目标：

1．知识与技能：

知道抽样调查与普查的概念；

明确总体、个体、样本、样本容量的概念；

知道抽样调查是为了了解总体情况的一种重要的数学方法；

会用抽样调查方式选取样本。

2．过程与方法

经历抽样调查选取样本的方法，体会抽样调查方法的科学性及实际意义。

3．情感、态度与价值观

教学重点：理解总体与个体的概念。

教学难点：能分辨问题中哪是考察对象、总体、个体、样本与样本容量。了解它们之间的区别与联系。

教学方法：启发引导式。

教学媒体：幻灯片。

教学安排：2课时。

教学过程：

第一课时：

Ⅰ。问题情境

师：生活中有许多实际问题需要调查收集数据，并根据数据来作出判断，但当要调查的对象太多或调查本身具有某种破坏性时，该怎么办呢？下面我们来看个实例！2008年，第29届奥运会将在北京举办，游泳、跳水、体操、举重、设计、羽毛球和乒乓球等都是我国的优越项目。在这些比赛项目中，你最爱看哪项比赛？我们班的同学中，哪个比赛最爱看的人最多？（幻灯片）

：以奥运会为导入，激发学生们的兴趣，让学生们相互讨论，增加课堂气氛。

Ⅱ。新课讲授

师：现在我们统计一下同学们都爱看哪个比赛，我说一个比赛项目，爱看的同学就举起手。

采用举手表决的方式进行调查，了解全班同学中最爱观看的比赛项目的人数。将统计结果填入下表：

比赛项目游泳跳水体操]举重射击羽毛球乒乓球

最爱看的人数/名

教师总结：同学们，上面我们对咱们全班的同学做了这么一个调查，那么，像这种为了特定目的对所有考察对象作的全面调查叫做普查。

生：这只是对我们班做个调查，那如果对我们所在的省（或直辖市、自治区）全体在校七至九年级学生中，各比赛项目最爱看的人数，这样的我们怎样进行调查？适合用普查的方式？

师：这位同学的问题很值得我们思考，对这个问题虽然能进行普查，但要普查的人太多了，既费时又费力。现在，我们可以采用这样的方法，按一定的比例（比如1‰）从各学校抽取一部分人，对这部分人进行调查，得出一个估计结果。

这样我们又得出几个新的概念：

我们把所要考察对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考察对象叫做个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查方式叫做抽样调查，这部分个体叫做总体的一个样本。样本中包含个体的数目叫做样本容量。

师：同学们可以举例子说明那些算是普查，哪些算是抽样调查。

生：为了准确掌握我国的人口状况，需要进行人口普查。人口普查的工作量极大，我国每10年进行一次人口普查，每5年进行一次1%的人口抽样调查。

师：同学们回答的很好；还有当考察我国的人口年龄构成时，具有中华人民共和国国籍并在中华共和国境内常住的人口的年龄构成总体，个体是符合这一条件的每一个公民的年龄，抽出的符合条件的1%人口的年龄构成一个样本。当考察全国家庭人口数时，总体是全国所有的家庭的人口数，每个家庭的人口数是一个个体，抽出的部分家庭的人口数构成一个样本。

同学们根据我们上面所学的知识，现在思考下面的几个问题：

1．我们可以用什么方式获得我们班男生的人数？怎样获得全校男生的人数？

2．中央电视台对第3频道各栏目收视情况进行调查，最后得出“同一首歌”是最受欢迎的栏目。这个结果是怎么得到的？

3．能用普查的方式了解一批节能灯泡的寿命吗？

让学生相互交流，讨论。

教师总结：

一般来说，普查能够得到总体全面、准确地信息。但有时总体中个体的数目非常大，普查工作量太大，有时受条件限制，无法进行普查；有的调查具有破坏性（如测试一批灯泡的寿命，了解炮弹的杀伤力等都是具有破坏性的实验），不能进行普查，这时，多采用抽样调查的方式，通过样本了解总体。

Ⅲ。课上练习

课本练习

板书设计：

抽样调查（1）

一、导入2。抽样调查

二、新课讲授三、练习

1．普查

第二课时：

Ⅰ。新课讲授

课前准备：让同学们去调查电视台的体育节目的收视率。

师：我们现在回忆一下上节课我们都学了哪些内容呢？

生：学习过普查和抽样调查。

师：那这两种调查方式有什么区别呢？

生：普查能够得到总体全面、准确地信息；有的调查具有破坏性，不能进行普查，这时，多采用抽样调查的方式。

师：我们课前准备的作业相信大家都完成了，现在我来提问几名同学：

生甲：我调查了全班40名同学，有10人收看了这个节目。

生乙：我在火车站调查了50人，只有2人收看了这个节目。

生丙：我在爸爸工作的大学调查了100名大学生，其中有40人收看了这个节目。

生丁：我利用互联网调查，共有200人做了回答，其中有30人收看了这个节目。

师：电视台自己也对该体育节目按照不同地区、不同年龄和不同的文化背景，特约了1000人进行了调查，其中有95人收看了这个节目。

现在我们把这几个同学和电视台的调查结果以及估计的收视率整理成了下表：

调查者生甲生乙生丙生丁电视台

调查的总人数/名40501002001000

收看某体育节目的人数/名102403095

估计的收视率25%4%40%9。5%

看上面的调查结果，我们一起思考这些问题：

1．为什么用不同的调查方式得到的收视率差别很大？

2．你认为谁的调查方式代表性较好？

3．抽样调查应该注意什么？

4．抽样调查的优点是什么？缺点是什么？

由于条件的限制，对这些问题只能进行抽样调查。抽样调查的优点是节省时间，比较经济。但是，抽样调查只考察了总体中的一部分个体，其调查结果不如普查准确。为了得到较为准确地结果，调查的个体不能太少，且要具有较好的代表性。可见，上面前四名学生的调查方式不是很好，电视台的代表性就相对好些。

Ⅱ。出示例题

从某学校九年级100名学生中选择10名学生，测量他们的肺活量。设计抽样调查方案，保证每个人被选到的机会均等。

解：给100名学生分别编号为1，2，3，…，100，并将号码写在100张卡片上。用下面的方法得到10个号码，选出对应这10个号码的学生。

方案1：把卡片装载一个盒子中，充分混合后，从中抽取10张卡片。

方案2：从1～10号卡片中随机抽出一张，比如抽到3号，然后再依次取13，23，…，93号，共10个号码。

方案3：用计算器产生1～100之间的10个随机数，以这10个数为号码，如10个随机数为：

5149228381239744363。

Ⅲ。课上练习

课本练习

板书设计：

抽样调查（2）

一、讲授三、

二、例题

极差导学案

一。学习目标：

1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。

2．掌握极差的概念，理解其统计意义。

3．了解极差是刻画数据离散程度的一个统计量，并在具体情景中加以应用。

二．要点梳理

1。我们已经学习了用、、表示一组数据的集中程度，但发现对一些数据的研究，必须了解一组数据的程度。

2。为了体现一组数据的离散程度，我们可以用这组数据的表示。

3。一组数据中与的差叫做这组数据的极差。

一组数据的极差越大，表示离散程度。

一组数据的极差越小，表示离散程度。

三．问题探究

知识点1。感受表示数据离散程度的必要性

例1．人体舒适度预报也叫做体感温度预报，就是以舒适指数的形式对“舒适”进行数字化定义，用反映不同的温度环境下人体的舒适感觉。下表显示的新疆和杭州两地，在一天内不同时段的气温情况：

0：004：008：0012：0016：0020：00

新疆10°c14°c20°c24°c19°c16°c

杭州20°c22°c23°c25°c23°c21°c

（1）分别求出两地的平均气温，并在图中表示平均气温的直线；

（2）同学们大学毕业后，你会选择那所城市居住？为什么？

总结：在现实生活中，仅仅比较数据的集中程度是不够的，如何进一步分析数据，指导我们的生活实践呢？

知识点2。理解极差的统计意义

例2。观察上面两幅折线统计图，你发现了什么？

（1）新疆的气温的最大值、最小值各是多少？温差是多少？杭州呢？

（2）什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？

（3）极差：极差=值—值

（4）极差能够反映数据的。极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受值的影响较大

【变式】。自动化生产线上，两台数控机床同时生产直径为40。00毫米的零，为了检验产品质量，从产品中各抽出10进行测量，结果如下（单位：毫米）．

（1）机床甲的平均数是，机床甲的平均数是。

（2）就所生产的10个零的直径变化范围，你认为哪个机床生产的质量好？

四．堂操练

1．极差是指一组数据中和的差，它能反映

2．如果一组数据的最大值为12，极差为20，则这组数据的最小值为

3．数据3，4，2，1，5的平均数为；中位数为；极差为；

4．a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的平均数为，中位数为；极差为。

5．一组数据：—1、0、3、5、X的极差是7，那么X的值可能有个

6．试计算下列两组数据的极差：

甲组：0，10，5，6，7，8，9，10，5，1

乙组：5，7，4，1，2，8，1，9，5，6

7．给出两组数据；甲组：10，8，7，7，8：。乙组：9，8，7，7，9，则下列结论正确的是（）

A、平均数相同，甲的极差大于乙的极差

B、平均数相同，乙的极差大于甲的极差

C、平均数和极差都相同

D、平均数不同，但极差一样

五．后拓展

一、填空题（每题5分，共30分）

1。若一组数据的最小值为12，极差为20，则这组数据的最大值为________；

2。一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是________。

3。已知一组数据1，2，0，－1，x，1的平均数是1，则这组数据的极差为．

4。对某校同龄的70名女学生的身高进行测量，其中最高的是169？，最矮的是146？，对这组数据进行整理时，可得极差为。

5．若一组数据的最大值为12，极差为20，则这组数据的最小值为_______。

6．近年，义乌市对外贸易快速增长．右图是根据我市2004年至2007年出口总额绘制的条形统计图，观察统计图可得在这期间我市年出口总额的极差是亿美元。

7．一组数据—1，0，3，5，x的极差是10，那么x的值可能是

8．在本赛季NBA比赛中，姚明最后六场的得分情况如下：17、15、21、

28、12、19，这组数据的极差为．

9．已知一组数据—2。1、—1。9、—1。8、—x、—2。2的平均数为—2，则极差是。

10．若n个数的平均数是4，极差是3，则将这n个数都扩大10倍加2，则这组数据的平均数是，极差是。

11．（2010，常州）一次考试中7名学生的成绩（单位：分）如下：61，62，71，78，85，85，92，这7名学生的成绩的极差是分，众数是。

二、选择题（每空5分，共40分）

12．（2011衢州）在九年级体育会考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：44，45，42，48，46，43，47，45。则这组数据的极差为（）

A．2B。4C。6D。8

13．一组数据x、x，…，x的极差是3，则另一组数据3x+1、3x+1…，3x+1的极差是（）

A。8B。16C。9D。17

14．（2011湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（）

A。3，3B。3，4C。2，3D。2，4

15．下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（）

A。平均数B。中位数C。极差D。众数

16．一组数据3、—1、0、2、X的极差是9，且x为自然数，则x是（）

A。－6或8B。－6C。12D。8

17．已知数据：2，，3，5，6，5，则这组数据的众数和极差分别是（）

A．5和7B．6和7C．5和3D．6和3

18．（2011德州）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：

对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）

A。甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B。甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数

C。甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数

D。甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

19．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85．下列表述错误的是（）

A．众数是85B．平均数是85C．中位数是80D．极差是15

20．（2011益阳）“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“”，不足标准重量的记作“”，他记录的结果是，，，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是（）

A．0，1。5B．29。5，1C．30，1。5D．30。5，0

三、解答题（每题5分、共10分）

２1。在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170、162、155、160、168（单位：厘米），则这组数据的极差是多少？

22．试计算下列两组数据的极差：

A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；

B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5．

一元二次方程

一元二次方程是国中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远。许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪。根据笔者的经验，我们认为学好一元二次方程应注意以下几个方面。

一、理解一个概念

学一元二次方程，首先要认识一元二次方程，课本中给出的定义是：“在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程”。其中包含三个方面的意思：一是方程中只含有一个未知数（未知数唯一），二是未知数的最大指数是2，二次项系数不等于0；三是一元二次方程的整式方程（而非分式方程）。此三者缺一不可，其一般形式为（a≠0）。判断一个方程是否是一元二次方程，要将方程化为一般式。

例1。下列方程中，是一元二次方程的是（）

A。

B。

C。

D。

分析：方程（A）含有两个未知数，方程（B）左边是分式，方程（D）整理后是5x+7=0，是一元一次方程。（答案为C）

例2。关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是___________。

解：据一元二次方程定义可知

即。

二、掌握四种解法

一元二次方程的解法是这一部分内容的重点。一元二次方程有四种解法：即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其基本思想是降次。四种解法又各有特点，只有准确把握，解方程时才会得心应手。

直接开平方法适宜于解形如的方程；配方法与公式法是通法，适合任何形式的一元二次方程，其中求根公式的条件是。而因式分解法适合的方程是：

一边为零而另一边易于分解成两个一次因式的积的方程（其依据是若ab=0，则a=0，或b=0）。在遇到不同形式的方程时，要根据方程的特点选择恰当的方法求解。

例3。方程①②③④分别适宜于直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

三、牢记两个关系

同学们在学习中要切实把握一元二次方程中的两个关系：一是一元二次方程根的判别式的值与方程的根的关系：二是一元二次方程的根与系数的关系。一元二次方程的判别式是（用符号表示），当时，方程的根依次是：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根（在实数范围内无解）；反过来也成立。

学习过程中同学们不仅要能根据判别式的值来确定方程的根的情况，也要学会根据方程的根的情况，结合判别式的值求方程中所含字母的值。

例4。不解方程，判别方程的根的情况。

解：把方程化为一般形式，由知方程无实数根。

例5。求证关于x的方程有两个不相等的实数根。

分析：由题知，本题是根据方程根的情况来证明判别式的值恒大于0。

证明：∵，

又

∴方程有两个不相等的实数根。

例6。k取何值时，方程有两个实数根。

分析：本题是根据方程根的情况，结合判别式值构造含k的不等式。

解：，∵方程有两个实数根，

一元二次方程的根与系数的关系是：

若（a≠0）的两个根是；

那么。

在此我们需要注意的是一元二次方程有实数根是存在以上关系的必要前提，否则不存在，一元二次方程的根与系数的关系应用广泛。

①求参数值

例7。已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

解：设方程另一个根为，则，

例8。已知方程的两个根的平方和是34，求m的值。

解：由根与系数的关系得，

②求含两根的代数式的值。

例9。利用根与系数的关系，求一元二次方程的两根的平方和。

解：设方程两根为，

则。

③求作新方程

例10。a、b是方程的两根，不解方程，求作一个新方程，使其两根为。

解：由题知，

∴新方程为。

例11。已知两数和为8，积为9，求这两个数。

解：由题意得，这两个数是方程

的.两根，解此方程即得。

四、学会两个应用

一元二次方程的应用主要有两个方面：其一是在实数范围内用公式法分解二次三项式。

例12。把分解因式。

解：方程。

其二是通过列一元二次方程解实际问题：

例13。已知菱形的周长是40，两对角线比为3：4，求两对角线的长。

解：由题知菱形的两对角线的一半的比也是3：4，设两对角线的一半分别是3x，4x，

则

解得（舍去）。

相似多边形及其性质

29。6相似多边形及其性质

教学目标

1。知识与技能

①相似三角形对应高的比，对应角的比，对应叫平分线的比和对应中线的比和相似比的关系。

②利用相似三角形的性质解决一些实际问题。

2。情感与态度

①相似三角形中对应线段的比和相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识。

②通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识

重点与难点

重点：相似三角形中对应线段比值的推倒，运用相似三角形的性质解决实际问题。

难点：相似三角形的性质的运用。

教学思考

通过例题的分析讲解，让学生感受相似三角形的性质在实际生活中的应用。

解决问题

在理解并掌握相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比的过程中，培养学生利用相似三角形的性质解决现实问题的意识和应用能力

教学方法

引导启发式

课前准备

幻灯片

教学设计

□教师活动□学生活动

一、创设问题情境，引入新课

带领学生复习相似多边形的性质及相似三角形的性质，并提出疑问“在两个相似三角形中，是否只有对应角相等，对应边成比例这个性质？”从而引导学生探究相似三角形的其他性质。

认真听课、思考、回答老师提出的问题。

二、新课讲解

1、做一做

以实际问题做引例，初步让学生感知相似三角形对应高的比和相似比的关系。

钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高。

（1），，各等于多少？

（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比。

（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形。

（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流。

阅读课本，弄清题意，根据已有的经验积极思考，动手操作画图，在练习本上作答。

依次回答课本提出的4个问题并加以思考

2、议一议

根据上面的引例让学生猜测，证明相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k。

（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？

（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？

学生经历观察，推证、讨论，交流后，独立回答。

3、教师归纳

相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

学生理解、熟记。

归纳、类比加深对相似性质的理解

三、课堂练习：

例题讲解，利用相似三角形的性质解决一些问题。

如图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形。

（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？

（2）求正方形PQRS的边长。

阅读例题，弄懂题意，然后运用所学知识作答。写出解题过程。

四、探索活动：

如图，AD，A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的角平分线，且AB：A’B’=BD：B’D’=AD：A’D’，你认为△ABC∽△A’B’C’吗？

针对此题，学生先独立思考，然后展开小组讨论，充分交流后作答。

五、课时小结

指导学生结合本节课的知识点，对学习过程进行。

本节课主要根据相似三角形的性质和判定判定推导了相似三角形的性质、相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

学生畅所欲言，谈学习的，遇到的困难以及获得的启发。

六、布置课后作业：

课后习题节选

独立完成作业。

板书设计

29。6相似多边形及其性质

一、1。做一做

2。议一议

3。例题讲解

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业

相似三角形的应用举例

19。7相似三角形的应用

目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．

会考基础知识

通过证明三角形相似

线段成比例

备考例题指导

例1．如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．

（1）求证：△DBP∽△EPC；

（2）当P点在什么位置时，SADPE=S△ABC，说明理由．

分析：

（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE平行线角相等，命题得证．

（2）设=x，则=1—x，

ADPEDP∥AC，EP∥AB，

△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA

∴=（）2=（1—x）2，=（）2=x2

∴=x2+（1—x）2．

∵SADPE=S△ABC，即=．

∴x2+（1—x）2=（转化为含x的方程）

x=，

即P应为BC之中点．

例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程x2—2（n—1）x+m2—12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．

分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，求出m，n再写出一次函数．

抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．

双直角图形有相似形比例式（方程）

∠ACB=90°，CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BAC

BC2=BD？BA，同理有AC2=AD？AB，

∴==m=2n①

抓条件：x1+x2=8（n—1），x1x2=4（m2—12）．

由（x1—x2）2<192配方（x1+x2）2—4x1x2<192．

64（n—1）2—16（m2—12）<192，

4n2—m2—8n+4<0．②

①代入②n>．

又由△≥0得4（n—1）2—4×（m2—12）≥0，

①代入上式得n≤2．③

由n>，n≤2得<n≤2．

∵n为整数，∴n=1，2．

∴m=2，4

∴y=2x+1，或y=4x+2．

遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．

备考巩固练习

1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x的一元二次方程x2—2b（a+）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若BF=6，FD=4，CE=CD，求CE的长．

2．某生活小区的居民筹集资金1600元，在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上，种植花木如图1

（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．

3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

①当=1时，有EF=；②当=2时，有EF=；③当=3时，有EF=．当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；

（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．

答案：

1．（1）由x1+x2=x1x2

得2b（a+）=（a+b）2

2ab+c2=a2+b2+2ab

∴△ABC是直角三角形．

∴c2=a2+b2

（2）易证△EFD∽△EDB，

∴EF2=DF？DB=40．设CE=x，则CD=x，

∴DE=（x）2—x2=40x=4．

2．（1）∵四边形ABCD是梯形（见图）．

∴AD∥BC，

∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，

∴△AMD∽△CMB，∴=（）2=．

∵种植△AMD地带花带160元．

∴=2（m2）∴S△OMB=80（m2）

∴△BMC地带的花费为80×8=640（元）

（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h

∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4

∵=∴h2=8

∴S梯形ABCD=（AD+BC）？h=×30×12=180

∴S△AMB+S△DMC=180—20—80=80（m2）

∴160+160+80×12=1760（元）

又：160+640+80×10=1600（元）

∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金．

（3）点P在AD、BC的中垂线上（如图），

此时，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC

∴△APB≌△DPC．

设△APD的高为x，则△BPC高为（12—x），

∴S△APD=×10x=5x，

S△BPC=×20（12—x）=10（12—x）．

当S△APD=S△BPC即5x=10（12—x）=8．

∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时，S△APD=S△BPC．

3．解：（1）猜想得：EF=

证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，

∴△AGE∽△DHE，

又EF∥AB∥CD，

∴CH=EF=GB，∴DH=EF—a，AG=b—EF，

∴=k，可得EF=．

（2）在AD上取一点EF∥AB交BC于点F，

设=k，则EF=，DE=，

若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE

∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形

∴×70=2×（170+）×，

化简得12k2—7k—12=0，解得k1=，k2=—（舍去）

九年级数学上册全册教案（北师大版）

第一证明（二）（时安排）

1．你能证明它们吗？3时

2．直角三角形2时

3．线段的垂直平分线2时

4．角平分线1时

1。你能证明它们吗？（一）

教学目标：

知识与技能目标：

1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．

过程与方法

1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观

1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．

2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．

重点、难点、关键

1．重点：探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问题．

2．难点：探究问题的证明思路及方法．

3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．

教学过程：

一、议一议：

1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

给出公理和定理：

1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．

二、回忆上学期学过的公理

本套教材选用如下命题作为公理：

1。两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

2。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

3。两边夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）

4。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）

5。三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）

6。全等三角形的对应边相等，对应角相等。

三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

证明过程：

已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF

求证：△ABC≌△DEF

证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°—（∠A+∠B）

∠F=180°—（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

堂小结：

通过这节的学习你学到了什么知识？

作业：

1、基础作业：P5页习题1。11、2。

1。你能证明它们吗（二）

教学目标：

知识与技能目标：

掌握证明的基本思路和书写格式。

过程与方法目标：

经历观察——探索——发现的过程，能运用综合法证明等腰三角形判定定理。

情感态度与价值观目标：

1．感悟证明的实际意义以及必要性，形成探究意识。

2．结合实例体会反证法的含义，培养逆向思维。

重点、难点、关键：

1．重点：掌握证明的常见方法以及书写推理过程。

2．难点：寻找证明的思路，选择证明的方法。

3．关键掌握综合分析法，结合公理、定理，依据条、结论进行推断、猜测，寻求证题的切入点．

教学过程：

一、提出问题，分组活动

（1）请同学们在练习本上画一个等腰三角形，一个等边三角形。

（2）在你所画的等腰（等边）三角形中作出一些你认为可以通过所学知识证明的相等线段。

二、下面是几种结论：

（1）等腰三角形两底角平分线相等。

（2）等腰三角形两腰上的中线、高线相等。

（3）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（4）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等。

（5）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等。

（6）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等。

1。证明：等腰三角形两腰上的中线相等。

2、证明：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．

三、将推理证明过程书写出。

问题提出：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

随堂练习：

已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求证：DB=DE

堂小结：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法，

（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。

（3）通过这节的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？

作业：

1、基础作业：P9页习题1。21、2、3。

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P10—12页做一做

1。你能证明它们吗（三）

教学目标：

知识与技能目标：

1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条及其推理证明过程．

2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．

过程与方法目标：

1．经历运用几何符号和图形描述命题的条和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．

情感态度与价值观目标：

1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重点、难点、关键：

1．重点：掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。

2．难点：渗透分类讨论的数学思想，以及辅助残的应用。

3．关键：充分运用综合分析法分析证明的思路．注意辅助线的添加、辅助图形的构造。增强数学的分类意识。

教学过程：

一、提出问题：

（1）怎样判别一个三角形是等使三角形？

（2）一个等腰三角形满足什么条时便成为等边三角形？

（3）你认为有一个角等于的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

二、做一做

用两块含角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。

三、提出问题：通过上述的拼摆，你联想到什么？在直角三角形中，角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

堂小结：

本节是在学习了全等三角形判定、等腰三角形性质、判定以及推论的基础上进行拓展，通过新旧知识的迁移以及拼摆实验，直观地探索出定理：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．以及定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这两个定理在简化几何步骤，以及计算或证明中起着积极的作用．

作业：

本习题1．31、2、3

2．直角三角形（一）

教学目标：

知识与技能目标：

1．掌握推理证明的方法，发展学生初步的演绎推理能力。

2．进一步掌握推理证明和方法，发展演绎推理能力。

过程与方法目标：

1经历探索、猜测、证明的过程。学会运用本节定理进行证明。

2．了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

情感态度与价值观目标：

1．培养学生综合分析能力，几何表达能力和积极主动的参与探索活动的良好习惯，体会数学结论在实际中的应用。

2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

重点、难点、关键：

1．重点：掌握推理证明的方法，提高思维能力。

2．难点：对勾股定理、逆定理的推理证明以及对逆命题的叙述。

3．关键：把握演绎推理思维，充分运用公理和学过的定理进行论证。对于逆命题问题应通过实际事例让学生验证逆命题的正确性。

教学过程：

议一议：

观察下列三组命题，它们的条和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条和结论分别是另一个命题的结论和条，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

随堂练习：

1、写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。

2、试着举出一些其它的例子。

3、随堂练习1

堂小结：

本节你都掌握了哪些内容？

轴对称变换

25。3轴对称变换

任务分析

教学目标知识技能1。通过实例认识轴对称变换，认识轴对称变换的性质和定义。能利用轴对称变换的性质作出简单平面图形关于一条直线的轴对称图形。

2。能尝试利用轴对称变换设计图案。

数学思考用轴对称变换的方式去认识几何图形，并能逐步完成从“具体—抽象—具体”的认知过程。

解决问题1。经历轴对称变换的操作、观察、交流探索轴对称变换的性质和定义。

2。利用轴对称变换进行作图和图案设计，发展学生用数学的能力。

情感态度1．通过学生亲自操作，培养学生的动手能力。

2．通过欣赏和设计图案，让学生形成学数学、用数学的意识，并培养学生的创新能力。

重点轴对称变换性质及利用轴对称变换作图。

难点轴对称变换性质的利用。

流程安排

活动流程图活动内容和目的

活动1创设情境，引入新课

活动2实践活动，探求新知：理解轴对称变换的性质和定义

活动3运用新知：利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法，然后练习巩固

活动4欣赏利用轴对称变换设计的图案，并对学生提出设计要求

活动5课堂小结，布置作业

创设问题情境，提出问题，让学生带着疑问有目的的学习。

经历操作、观察、交流、讨论，得到各图例的共同点，从而归纳出轴对称变换的性质和定义。

作已知三角形关于直线的对称图形，进一步理解利用轴对称变换的性质，掌握轴对称变换的作图方法。

让学生感觉对称的静态美及利用轴对称变换设计图案过程中的动态美，培养学生欣赏美和创造美的能力。

回顾知识要点，畅谈收获。

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

[活动1]

如果只知道轴对称图形的一半，你能得到另一半吗？怎么得到另一半？

学生欣赏轴对称图案思考教师提出的问题，由此引入新课，教师板书课题。

通过创设情境，提出相应问题，给学生思考的空间，也给学生学习本节课指出了方向。

[活动2]

问题1：在一张半透明纸的左边部分画一只左脚印，你怎么得到相应的右脚印呢？

观察图形提问：连接对称点的线段与对称轴有什么关系？

问题2：观察前四朵花的形成过程后提问：①图案形成过程中有几条对称轴，它们有什么关系？②如果想得到更多的花，你有什么方法？

问题3：如果对称轴的方向和位置发生变化，得到的新图形与原图形有哪些相同之处，又有哪些不同之处？

问题4：同学们在纸上画一个自己喜欢的几何图形，将这张纸折叠，描图，再打开，你能得到什么？如果改变对称轴的方向再重复，你又能得到什么？

问题5：以上图形的变换有什么共性？从以下几个方面进行讨论：

①新图形与原图形的形状、大小有什么关系？

②新图形上的点能在原图形上找到相应的点吗？

③连接对应点的线段与对称

轴有什么关系？

练习：出示课本图

问题：这个图案可以怎么变换得到？

学生动手画图，教师指导，及时调整。

学生观察所作图形，思考教师提出的问题。

在学生画图过程中，教师应重点关注：

（1）学生如何选取折痕；

（2）学生如何画右脚印

教师利用上述方法演示由第一朵花得到第二朵，然后重复这个过程得到四朵花。

学生思考问题后得到：由不同方法可以得到相应图形。

教师关注重点：学生在思考过中是否找准了对称轴及它们的关系。

教师先演示对称轴是铅直线的情况，然后再演示改变对称轴进行变换这一情形，学生观察比较两次变换的结果并回答提问。

教师重点关注学生对对称轴的方向和位置的理解。

学生动手画图，教师指导、观察。然后展示学生作品，师生进行评价交流。

教师关注重点：

学生是否改变了对称轴。

学生通过讨论，归纳所得图形之间的共同特点，教师引导、补充，得到完整的归纳。

教师重点关注：

（1）是否找出了各图形的共同点。

（2）学生语言叙述的准确性和规范性。教师给出轴对称变换的定义。

提示学生以不同的部分为原图形进行轴对称变换。

通过学生动手，得到相应的右脚印，让学生经历轴对称图形的形成过程，培养学生的动手能力和观察能力。

通过观察由一个图形得到它的轴对称图形的过程，理解轴对称图形的变换过程。结合平移变换，把原有知识联系起来，体现了前后知识的联贯。

观察对称轴方向和位置的变化对图形的影响，培养学生的观察和归纳能力。

通过再次操作，进一步感受对称轴变化对图形的影响，培养学生的动手能力。

展示学生作品，让学生获得成功的体验，激发学习的热情。

通过以上一系列活动过程，培养学生的观察和归纳能力，把学生对知识的理解由感性认识上升到理性认识。

利用具体的图例，将抽象的知识具体化。通过多种不同角度的变换，发展学生的发散思维。

[活动3]

思考：如果有一个图形和一条直线，你如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

结合例1进行分析，并分层提问：

（1）△ABC关于直线l对称的图形是什么形状？

（2）△ABC的对称图形由几点确定？取△ABC上的哪几点作其关于直线l的对称点？

（3）怎样作一点关于直线l的对称点？

练习：1、2两题

教师出示例1，师生双方共同分析。

学生思考问题，并结合轴对称变换的性质指出作图的依据。

师生共同作出图形后，通过折叠方法验证。然后归纳作图方法。并强调作图关键：找特殊点的对称点。

在作图的过程中，教师重点关注：

（1）在△ABC上，是否取的三个顶点；

（2）是否掌握了作一点关于直线的对称点的方法；

（3）作图的规范性。

分步设问，既降低了难度，也便于学生掌握作图方法。

通过作图，巩固了轴对称变换的性质，更体现了数学的学与用的结合，

通过练习，巩固所学知识，及时反馈。

[活动4]

（1）欣赏由轴对称变换得到的图案。

（2）同学们，聪明的你们也可以利用轴对称变换设计出很多美丽的图案，你们一定能行。

学生先欣赏图案，然后给学生提出作业要求（可以结合我们学过的平移变换。）

让学生在欣赏中感受美，在创作设计中创造美，并培养学生的动手能力和创新意识。

[活动5]

通过这节课的学习，你有哪些收获？

布置作业：（1）第1题、第8题；（2）利用轴对称变换设计图案。

教师引导学生从知识、方法和应用等方面方面归纳小结。

让学生对轴对换变换的认识系统化，条理化。