函数的概念第二课时教学设计

A【教学目标】

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

B【教学重难点】

教学重点

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

教学难点

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

C【教学过程】

1、创设情境

下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝x；

、（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ；（4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．

2、讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

3、典例

例1 求下列函数的定义域：

（1）y?x?1?x?1； （2）y?1

x2?3?5?x2；

分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解 ： （1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函数y?x?1?x?1的定义域是[1，??)． x?1?0,x??1,??

2???x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±， 2???5?x?0,???x?5,

故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}．

点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

① 分式中，分母不等于零．

② 偶次根式中，被开方数为非负数．

③ 对于y?x0中，要求 x≠0．

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y?(x?1)0

x|?xy?2x?3?1

2?x?

变式练习1求下列函数的定义域： （1）；（2）1x．

?x?1?0,?x??1,(x?1)0解 （2）由?得? 故函数y?是{x|x<0，且x≠?1}． x|?x?x?0,?|x|?x?0,

3?x??,??2x?3?0,2?3? （4）由?2?x?0,即?x?2, ∴?≤x＜2，且x≠0， 2?x?0?x?0,???

故函数的`定义域是{x|?3≤x＜2，且x≠0}． 2

说明：若A是函数y?f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f：A

B而言，如果如果值域是C，那么C?B，因此不能将集合B

当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}．

（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}

点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的

值域的方法我们称为观察法．

变式练习2 求下列函数的值域：

2y?x?4x?6，x?[1，5)； （1）

（2）y?3x?1

x?1； 解：（1）y?(x?2)2?2． x?[1，5)的图象， 作出函数y?x2?4x?6，由图观察得函数的值域为{y|2≤y＜11}．

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（2）解法一：y?

的值域为｛y|y≠3｝． 解法二：把y?3x?1看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数x?13(x?1)?444，显然可取0以外的一切实数，即所求函数?3?x?1x?1x?1

定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是

??y－3≠0，

?y＋1，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝． －≠－1??y－3

点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

4、 课堂小结

（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．