高一数学必修4知识点总结

第一章 三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是

l． r

180

6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3． 180

7、若扇形的圆心角为

为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

1

11

Slrr2．

22

8

、设是一个任意大小的角，它与原点的距离是rr的终边上任意一点的坐标是x,y，则sin

0，

yxy

，cos，tanx0． rrx

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin，cos，tan．

2222

11、角三角函数的基本关系：1sin2cos21sin1cos,cos1sin

；

2

sin

tancos

sin

sintancos,cos．

tan

12、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sin

cos，cossin．6sincos，cossin． 2222

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将

函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数

ysinx的图象．

②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横

2

坐标不变），得到函数ysinx的图象． 14、函数ysinx0,0的性质： ①振幅：；②周期：

2

；③频率：f

1

；④相位：x；⑤初相：． 2

函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为ymax，则

11

x2x1x1x2ymaxyminymaxymin

22，，2．

yASinx , A0 , 0 , T

2

15 周期问题

2

yACosx , A0 , 0 , T

yASinx, A0 , 0 , T

yACosx, A0 , 0 , T

yASinxb , A0 , 0 , b 0, T

2

2

yACosxb , A0 , 0 , b0 ,T

TyAcotx , A0 , 0 ,

yAtanx , A0 , 0 , T

yAcotx, A0 , 0 , T

yAtanx , A0 , 0 , T

3

第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

C

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

abcabc②结合律：；③a00aa．

a

b

abCC

4

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有

且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，

点的坐标是

x1x2y1y2

时，就为中点公式。）（当1 ,．

11

23、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向

2

时，abab；aaaa或a．③abab．

2

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

222

若ax,y，则axy，

或a设ax1,y1，则abxx12yy12bx2,y2，

0．

5

第一章 三角函数

1.

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

的 第一象限角{α|k2360°＜α＜90°+k2360°,k∈Z}

分 第二象限角{α|90°+k2360°＜α＜180°+k2360°,k∈Z} 类 第三象限角{α|180°+k2360°＜α＜270°+k2360°,k∈Z} 第四象限角{α|270°+k2360°＜α＜360°+k2360°,k∈Z} 或{α|-90°+k2360°＜α＜k2360°,k∈Z} (象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限． 2.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+ k2360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。 3.几种特殊位置的角：

⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k2360°,k∈Z

⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+ k2360°,k∈Z ⑶终边在x轴上的角：α= k2180°,k∈Z

⑷终边在y轴上的角：α=90°+ k2180°,k∈Z ⑸终边在坐标轴上的角：α= k290°,k∈Z

⑹终边在y=x上的角：α=45°+ k2180°,k∈Z

⑺终边在y=-x上的角：α= -45°+ k2180°,k∈Z 或α=135°+ k2180°,k∈Z ⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k245°,k∈Z

4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。 5.6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α 相关公式7.角度制与弧度制的换算 8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）那么： ⑴y叫做α的正弦，记作sinα即⑵x叫做α的余弦，记作cosα⑶

y叫做α的正切，记作tanαx22

os1 sin；cos

同角三角函数的基本关系 α≠kπ+

11.三角函数的诱导公式：

πnis（k∈Z）】：ant2cos

公sink2sin式cosk2cos一tank2tan【注】其中kZ

公sinsin公sinsin式cos

cos

式coscos

公sinsin式coscos四tantan

公sincos

2

公sinsco

2

式cossin式cosn si

22

五tancot

2

六tantco

2

注意：ysinx周期为2π；y|sinx|周期为π；y|sinxk|周期为2π；ysin|x|不是周期函数。

13.得到函数yAsin(x)图像的方法:

y=sin(x+)ysin(x)y①y=sinx

周期变换

向左或向右平移||个单位

平移变换周期变换振幅变换

Asin(x)

②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x) 14.简谐运动

①解析式：yAsin(x),x[0,+) ②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。 ③周期：T④频率：f=

振幅变换

2π

1

T2π

⑤相位和初相：x称为相位，x=0时的相位称为初相。

第二章 平面向量

1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。

平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。

BC=b，b，7.如图，已知非零向量a、在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，

即abABBCAC。

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a

9.公式及运算定律：①A1A2+A2A3+...+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b|

（a+b）+ca（b+c）③a+bba ④

10.相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向

量。

②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）（=-a）+a=0。

④如果a、b是互为相反的向量，那么a= -b，b= -a，ab=0。

⑤我们定义a-b=a+，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 （-b）

11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的

长度与方向规定如下：①|a||||a| ②当λ＞0时，a的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的

方向相反；λ=0时，a=0

（a）（）a 12.运算定律：①

②（）aaa

③（ab）=ab

（）a（a）（a）（ab）=ab ④⑤

13.定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，已知向量a与b

共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a；当a

与b反方向时，有b= a。则得如下定理：向量向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=a。

14.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且

只有一对实数1、2，使a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基

底。

15.向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则AOB（0°≤θ≤180°）叫

做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。

16.补充结论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若manb0，则m=n=0。

17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若a(x1,y1)，则a(x1,y1)

20.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线

x1x2y1y2

21.定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(,)

11

①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0 ②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1； 当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0. 22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，

B

则OCOAOB，其中λ+μ=1

23.数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b 的数量积（或内积），记作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角，

|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量

积为0。

24. a2b的几何意义：数量积a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。

25.数量积的运算定律：①a2b=b2a ②（λa）2b=λ（a2b）=a2（λb） ③（a+b）2c=a2c+b2c 22222222④(ab)a2abb ⑤(ab)a2abb ⑥(ab)(ab)ab

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则：

22

2

①若a(x,y)，则|a|xy，或|a|。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为（x2x1，y2y1）

（x1，y1）（x2，y2）、，那么a，|a|

（x1，y1）（x2，y2）②设a，b，则abx1x2y1y20ab0

（x1，y1）（x2，y2）27.设a、b都是非零向量，a，b，θ是a与b的.夹角，根据向量数量积的定义及坐标表

ab

示可得：cos

|a||b|

第三章 三角恒等变换

cs1.两角和的余弦公式【简记C(α+β)】：oos2.两角差的余弦公式【简记C(α-β)】：c

csocsnisniso

coscosnisnis

3.两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角，α±β

叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用”

is4.两角和的正弦公式【简记S(α+β)】：nis5.两角差的正弦公式【简记S(α-β)】：n

isoscosnisnc

nisoscosnisc

6.两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值

篇三：高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

必修四常考公式及高频考点

第一部分 三角函数与三角恒等变换

考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：

所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：{β|β= k2360 °+α,k∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α第二象限角的集合为{α第三象限角的集合为{α第四象限角的集合为{α

| k2360 °<α<k2360 °+90 °,k∈Z }

| k2360 °+90 °<α<k2360 °+180 °,k∈Z } | k2360 °+180 °<α<k2360 °+270 °,k∈Z } | k2360 °+270 °<α<k2360 °+360 °,k∈Z }

3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：

（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k2360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角

（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k2180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角

（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k290 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 例：

终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k2360 °+270 °,k∈Z }

终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k2180 °+135 °,k∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k290 °+45 °,k∈Z } 易错提醒：

区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角

考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化

180，1

180

57.3，1弧度

180

2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）

nR

R, 其中为弧所对圆心角的弧度数 180

1nR21

lR2||, 其中为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：S

23602

弧长公式：l

12

易错提醒：利用S= R||求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数

2

规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧

考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么siny，cosx，tan

y（r|OP|

rrx化简为siny,cosx,tan2.三角函数值符号

；

y

. x

规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值

除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线

经典结论： (1)若x(0,(2)若x

(0,

2

)，则sinxxtanx

)，则1sinxcosx2

(3)|sinx||cosx|1

例：

11

在单位圆中分别画出满足sinα＝cosα＝、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合

22考点四 三角函数图像与性质

考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质 1.解析式求法

（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法

A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点(x1,y1)或最低点坐标(x

2,y2)，则x1

2

2k(kZ)或

x2

3

2k(kZ)，求值． 2

易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60

②ω求解思路：

利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等. 例：

“两域”： (1) 定义域

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.

b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例：

1.y=asinx+bsinx+c

2

2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)

4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性

ππ

①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由

22π

2kπωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得;

2

②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;

ππ

③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ<kπ＋k∈Z解得,.

22规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧． (2)对称性

π

①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;

2π

②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得;

2③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (3)奇偶性

π

①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数φ＝kπ2∈Z)；

②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ∈Z)；

kπ

③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝(k∈Z)．

2规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (4)周期性

2π

函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，

|ω|y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝

考点六 常见公式

常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系

π. |ω|

π

∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数φ＝kπ(k2

22