考研数学矩阵相似对角化要点及技巧

考研数学的冲刺复习，需要不断回顾课本、复习错题，对重要知识点需要一再巩固。小编为大家精心准备了考研数学矩阵相似对角化的知识点，欢迎大家前来阅读。

　　考研数学矩阵相似对角化重点和方法

★一般方阵的相似对角化理论

这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。

1、判断方阵是否可相似对角化的条件：

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。

2、求方阵的特征值：

(1)具体矩阵的特征值：

这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算;

(2)抽象矩阵的特征值：

抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。

★实对称矩阵的.相似对角化理论

其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。

这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。

最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

(1)不同特征值的特征向量一定正交

(2)k重特征值一定满足满足n-r(λE-A)=k

【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。

2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵

【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不正交)。

3、实对称矩阵的特殊考点：

实对称矩阵一定可以相似对角化，利用这个性质可以得到很多结论，比如：

(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地使用。

(2)两个实对称矩阵，如果特征值相同，一定相似

同样地，对于一般矩阵，这个结论也是不成立的。

4、实对称矩阵在二次型中的应用

使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。

　　考研数学重要题型知识点

温馨提醒：小编没有区分数一数二数三，各位小伙伴需要根据自己考查科目的大纲要求，进行了解。

1.极限问题的快速分析与处理;

2.巧用极限的保序性、有界性与唯一性，正确快速运用极限运算法则;

3.准确快速判断分段函数特性(连续、可导与导数连续等);

4.导数与微分的特别考点;

5.等式与不等式证明技巧;

6.处理积分计算与综合分析问题的有效方法;

7.正确运用定积分性质，处理变限积分与含参积分的技巧;

8.用积分表达与计算应用问题的技巧;

9.级数收敛性分析与判断的快速程序化方法;

10.级数展开与求和零部件组合安装法;

11.“按类求解”和“观察侍定”是解微分方程的两把钥匙;

12.“规律翻译”与“微量平衡分析”是解应用题的基本方法;

13.用函数观点来考察微分方程问题;

14.用“多元问题”“一元化”的方法研究多元函数;

15.分析“函数结构”是“抽象函数”导数的计算的关键;

16.多元极(最)值问题应抓住“三个什么”“三个步骤”;

17.“三定”(坐标系、积分序和积分限)是计算重积分的三步曲;

18.灵活运用“分块积分、对称性、几何和物理意义”是计算重积分的捷径;

20.掌握曲面的定向是正确利用Guass公式、Stokes公式的前提;

21.将矩阵按列分块之技巧及应用;

22.利用矩阵的参数的技巧;

23.利用初等矩阵表示矩阵的初等变换的技巧;

24.应用行列式的展开定理的技巧;

25.关于向量组的线性相关与线性无关的技巧;

26.利用简化行阶梯形的技巧;

27.关于矩阵对角化问题的技巧;

28.判断二次型正定性的技巧;

29.加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型应活用;

30.变量分布特征清，参数确定容易定，重要分布记背景，离散变量靠列表;

31.一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求;

32.由联合分布求边缘分布的技巧，判断独立性;由联合分布求概率;

33.函数期望是关键，常用分布背特征，特征性质要牢记，二维特征定相关;

34.大数中心规范记，收敛方式有区别，切比雪夫估概率，近似计算用中心;

35.抽样分布定义明，正态抽样四式推，矩法似然原理清，无偏有效算特征;

36.区间估计靠枢轴，分位定义应明确，假设检验步骤定，两类错误会计算。

　　考研数学的临场技巧

一、检查试卷，稳定心情

拿到试卷以后不要着急做题，花一两分钟时间把卷子通篇看一下，检查一下考研数学试卷是不是23道题目，大致都是什么题型的题目。这样做有两个好处：一是可以有效防止因粗心大意而漏掉一些题目，漏题就太可惜了;二是可以加强自己的信心，稳定心情，通过长达一年时间的复习，看了这么多参考书，听了那么多考研课程，相信试卷中肯定有不少题型你是非常熟悉的，看了这些题目以后，你会感到非常高兴，自信心会猛烈增长，原本紧张的心情也会放轻松，这样才能正常发挥。

二、合理分配答题时间

根据以往考生的经验，一道客观题控制在3分钟左右，最多不要超过5分钟，解答题一般10分钟左右，根据难易程度适当调整。最后至少留出30分钟时间检查，确保会做的题目计算正确。

三、按序做题，先易后难

考研数学题量都是23道题目，其中选择题8道，填空题6道，解答题9道。题目类型也是固定的，数学一和数学三1-4题是高数选择题，5-6题是线代选择题，7-8题是概率选择题;9-12题是高数填空题，13题是线代填空题，14题是概率填空题，15-19题是高数解答题，20-21题是线代解答题，22-23题是概率解答题。数学二1-6题是高数选择题，7-8题是线代选择题;9-13是高数填空题，14题是线代填空题，15-21题是高数解答题，22-23题线代解答题。

选择题和填空题主要考察的是基本概念、基本公式、基本定理和基本运算，解答题包括计算题和证明题考察内容比较综合，往往一个题目考查多个知识点，从近些年的试卷特点，题型都比较常见，难度不算大，我们最好按题目顺序做，这样能稳定心情，很快进入状态，也不容易漏做题目，如果遇到自己不熟悉的题目也不要发慌，可以暂时放下接着做下一个题目。等容易的题目有把握的题目都做完之后，再静心研究有疑问的题目，但如果实在没有思路也要学会放弃，留出时间检查自己会做的题目，争取会做的题目不丢分，因为数学的分数最依赖的还是能否将会做的题都做对。

此外，有些同学喜欢先做高数，再做线代，这样的做题顺序也可以，关键是看你平时训练时是如何训练的，选择适合自己的就是最好的，但在此提醒一下大家一定不要漏做题。最后祝大家考研顺利!

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