有关等差数列知识点整理

概念

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

注意：以上n均属于正整数。

公式

通项公式

如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：

即

补充：

求和公式

若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：

S=(a1+an)n2

即(首项+末项)项数2

前n项和公式

注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)

等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：

上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.

推论

一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的'二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。

二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1,2,…,n}

三.若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

四.其他推论

① 和=(首项+末项)项数2

(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

证明原理见高斯算法

项数=(末项-首项)公差+1

(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

② 首项=2x和项数-首项或末项-公差(项数-1)

③ 末项=2x和项数-首项

(以上2项为第一个推论的转换)

④ 末项=首项+(项数-1)公差

(上一项为第二个推论的转换)

推论3证明

若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因为

m+n=p+q ;

a(1),d均为常数

所以

若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，pN*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1.常数列不一定成立

2.m,p,q,n属于自然数

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.

等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

A(m)+A(n)=2A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且

为数列的平均数。并且可以推知n+m=2r。

且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明

它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：

今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?

书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

基本性质编辑

⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列中，当项数为2n (n N+)时，S偶-S奇 = nd，S奇S偶=ana(n+1);当项数为(2n-1)(n N+)时，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=项数*a(中) ，S奇S偶 =n(n-1).

⑶若数列为等差数列，则Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d .

(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.

⑸在等差数列中，S = a，S = b (nm)，则S = (a-b).

⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

⑺记等差数列的前n项和为S .①若a 0，公差d0，则当a 0且an+10时，S 最大;②若a 0 ，公差d0，则当a 0且an+10时，S 最小.

[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)

r次等差数列

为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。

假设一个基En(x)=[1,x,x^2,...,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,...,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)

p(x)=En(x)*b

s(x)=x*En(x)*A*b

m+n=p+q(m、n、p、qN*)则am+an=ap+aq

一次数列的性质

1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)p2(x)与c*p1(x)p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。

2.p(m)-p(n)=En(m)*b-En(n)*b=(En(m)-En(n))*b=[0,m-n]*b

3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

(证明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

p(m)+p(n)=En(m)*b+En(n)*b=(En(m)+En(n))*b

p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b=(En(m)+En(n))*b=p(m)+p(n)

4.从p(x)=En(x)*b中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。

5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数.

6.当一次项系数b(1)0时，数列中的数随项数的增大而增大;当b(1)0时，数列中的数随项数的减少而减小;b(1)=0时，数列中的数等于一个常数.

等差数列的判定

1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n N*，n 2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nN*] 等价于{a(n)}成等差数列。

3、a(n)=kn+b [k、b为常数,nN*] 等价于{a(n)}成等差数列。

4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n N* ]等价于{a(n)}为等差数列。